每日一题[1000]数列与不等式

设实数$a\geqslant 2$，方程$x^2-ax+1=0$的两根分别为$x_1,x_2$，$a_n=x_1^n+x_2^n$($n=1,2,\cdots$)，$b_n=\dfrac{a_n}{a_{n+1}}$．
(1)用$b_n$表示$b_{n+1}$，并判断数列$\{b_n\}$的单调性；
(2)求所有实数$a$的值，使得对任意正整数$n$都有$b_1+b_2+\cdots+b_n>n-1$．

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分析与解        (1) 根据题意，不妨设$x_1=\alpha$，$x_2=\dfrac{1}{\alpha}$，$a=\alpha+\dfrac{1}{\alpha}$，且$\alpha\geqslant 1$，则

$$\begin{split}a_{n+2}=&\alpha^{n+2}+\dfrac{1}{\alpha^{n+2}}\\=&\left(\alpha+\dfrac{1}{\alpha}\right)\cdot \left(\alpha^{n+1}+\dfrac{1}{\alpha^{n+1}}\right)-\left(\alpha^{n}+\dfrac{1}{\alpha^{n}}\right)\\=&a\cdot a_{n+1}-a_{n},\end{split}$$ 即 $$\dfrac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=a-\dfrac{a_{n}}{a_{n+1}},$$ 整理得 $$b_{n+1}=\dfrac{1}{a-b_n}.$$ 因此 $$\dfrac{b_{n+1}}{b_n}=\dfrac{1}{b_n(a-b_n)}.$$ 因为$\alpha\geqslant 1$，所以 $$\dfrac 1{\alpha}\leqslant b_n=\dfrac {a_n}{a_{n+1}}=\dfrac {\alpha^n+\dfrac 1{\alpha^n}}{\alpha^{n+1}+\dfrac 1{\alpha^{n+1}}}\leqslant \alpha,$$ 于是 $$b_n(a-b_n)\geqslant 1,$$ 等号当且仅当$a=2$(此时$\alpha=1$)时取得，因此数列$\{b_n\}$当$a=2$时为常数列，当$a>2$时单调递减．

(2) 当$a>2$时，数列$\{b_n\}$单调递减趋于$\dfrac{1}{\alpha}$，于是必然存在$\varepsilon>0$，使得当$n>N$时，均有

$$b_n-\dfrac 1{\alpha}<\varepsilon,$$ 于是 $$\begin{split}LHS&=\left(b_1+b_2+\cdots+b_N\right)+\left(b_{N+1}+\cdots+b_n\right)\\&<N\alpha+(n-N)\left(\dfrac{1}{\alpha}+\varepsilon\right)\\&=\dfrac{1}{\alpha}\cdot n+N\left(\alpha-\dfrac{1}{\alpha}\right)-N\varepsilon.\end{split}$$ 考虑到$\dfrac{1}{\alpha}<1$，因此必然存在$M$，使得当$n>M$时，有 $$\dfrac{1}{\alpha}\cdot n+N\left(\alpha-\dfrac{1}{\alpha}\right)-N\varepsilon<n-1,$$ 不符合题意．

当$a=2$时，数列$\{b_n\}$为常数列$b_n=1$($n\in\mathbb N^*$)，此时显然符合题意．

综上所述，所有满足要求的实数$a$的值为$2$．