每日一题[994]分式函数的最值

已知$A$在线段$BC$上(不包含端点)，$O$是直线$BC$外一点，且$\overrightarrow{OA}-2a\overrightarrow{OB}-b\overrightarrow{OC}=\overrightarrow 0$，则$\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{2b}{1+b}$的最小值是________．

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正确答案是$2\sqrt 2-2$．

分析与解　根据题意，由等系数和线知$2a+b=1$且$a,b>0$．于是

$$\begin{split}\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{2b}{1+b}&=\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{2b}{(2a+b)+b}\\&=\dfrac{a(a+b)+b(a+2b)}{(a+2b)(a+b)}\\&=\dfrac{a^2+2ab+2b^2}{a^2+3ab+2b^2}\\&=1-\dfrac{1}{\dfrac ab+\dfrac{2b}a+3}\\&\geqslant 1-\dfrac{1}{2\sqrt 2+3}\\&=2\sqrt 2-2,\end{split}$$ 等号当$a=\sqrt 2b$时取得．因此所求的最小值为$2\sqrt 2-2$．

另法　得到$a,b$的关系后也可以将$a=\dfrac{1-b}2$代入整理得到关于$b$的代数式

$$\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{2b}{1+b}=\dfrac {5b^2+2b+1}{3b^2+4b+1},b\in(0,1),$$ 令$t=\dfrac 1b>1$，上式可整理为 $$1-\dfrac {2(t-1)}{t^2+4t+3}=1-\dfrac 2{(t-1)+\dfrac 8{t-1}+6}\geqslant 2\sqrt 2-2,$$ 当且仅当$t=2\sqrt 2+1$，即$b=\dfrac {2\sqrt 2-1}{7}$时取到等号．

因此所求代数式的最小值为$2\sqrt 2-2$．