每日一题[104] 三角换元

解方程$x^3-3x=\sqrt{x+2}$．

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 注意到

$$4\cdot\left(\dfrac x2\right)^3-3\cdot\dfrac{x}{2}=\sqrt{\dfrac{\dfrac x2+1}{2}},$$ 联想余弦的三倍角和半角公式，令$\dfrac x2=\cos \theta$，$\theta\in [0,\pi]$，则 $$4\cos^3\theta-3\cos\theta=\sqrt{\dfrac{1+\cos\theta}{2}},$$ 即 $$\cos{3\theta}=\cos\dfrac{\theta}{2},$$ 解得 $$3\theta=\dfrac{\theta}{2}\lor 3\theta=2\pi -\dfrac{\theta}{2}\lor 3\theta=2\pi+\dfrac{\theta}{2},$$ 即 $$\theta=0,\dfrac{4\pi}{7},\dfrac{4\pi}5,$$ 于是 $$x=2,2\cos\dfrac{4\pi}7,2\cos\dfrac{4\pi}5.$$