每日一题[977]翻杯子

对于$n$维向量$A=\left(a_1,a_2,\cdots,a_n\right)$，若对任意$i\in\{1,2,\cdots,n\}$均有$a_i=0$或$a_i=1$，则称$A$为$n$维$T$向量．对于两个$n$维$T$向量$A,B$，定义$d(A,B)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left|a_i-b_i\right|$．
(1) 若$A=(1,0,1,0,1)$，$B=(0,1,1,1,0)$，求$d(A,B)$的值；
(2) 现有一个$5$维$T$向量序列：$A_1,A_2,A_3,\cdots$，若$A_1=(1,1,1,1,1)$，且对任意正整数$i$，均有$d\left(A_i,A_{i+1}\right)=2$，求证：该序列中不存在$5$维$T$向量序列$(0,0,0,0,0)$；
(3) 现有一个$12$维$T$向量序列：$A_1,A_2,A_3,\cdots$，若$A_1=(\underbrace{1,1,\cdots,1}_{12\,\text{个}})$，$A_j=(\underbrace{0,0,\cdots,0}_{12\,\text{个}})$，$j\in \mathbb{N}^{*}$，且存在正整数$m$，使得对任意正整数$i$，均有$d\left(A_i,A_{i+1}\right)=m$，求出所有可能的$m$．

分析与解　(1) $4$．

(2) 用反证法，若存在符合题意的序列且$A_{k+1}=(0,0,0,0,0)$，$k\in\mathbb N^*$．设向量$A_1$的每个分量变化的次数分别为 $$2k_1+1,2k_2+1,2k_3+1,2k_4+1,2k_5+1,$$ 其中$k_1,k_2,k_3,k_4,k_5\in\mathbb N$．这样就有 $$2k=\left(2k_1+1\right)+\left(2k_2+1\right)+\left(2k_3+1\right)+\left(2k_4+1\right)+\left(2k_5+1\right),$$ 左边为偶数，右边为奇数，矛盾．因此原命题得证．

(3)引理1　对$n$维$T$向量序列，$m$取$n$的正约数时符合题意．

引理2　对$n$维$T$向量序列，当$n$为偶数时，$m=n-1$符合题意；当$n$为奇数时，$m=n-2$符合题意．

引理3　对$n$维$T$向量序列，当$n$为偶数时，$m=2$符合题意，进一步当$m\leqslant n-2$也符合题意．

引理4　对$n$维$T$向量序列，当$n$为奇数时，那么$m$必然为奇数．

其中引理2的证明如下：当$n$为偶数时，第$i$次操作除$i$分量外的其它所有分量，经过$n$次操作后，每个分量被操作了$n-1$次，恰好都发生改变；

当$n$是奇数时，第$i$次操作除$i,i+1$分量外的其它所有分量（其中第$n$次操作除第$n,1$分量外的所有分量），经过$n$次操作后，每个分量被操作了$n-2$次，恰好都发生改变．

其中引理3的证明如下：两次操作除了想要变换的两个分量之外都操作相同的分量（即每次操作一个想变换的分量加上$m-1$个相同分量），这样两次操作就相当于一次$m=2$的操作．

根据以上引理，显然所有可能的$m=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12$．