每日一题[976]各有千秋

已知$a,b\in \left[1,\sqrt 3\right]$，则$\dfrac{a^2+b^2-1}{ab}$的取值范围是______．

---

正确答案是$\left[1,\sqrt 3\right]$．

分析与解　法一　一方面，有

$$\dfrac{a^2+b^2-1}{ab}\geqslant \dfrac{2ab-1}{ab}=2-\dfrac{1}{ab}\geqslant 1,$$ 等号当$(a,b)=(1,1)$时取得．因此所求代数式的最小值为$1$．

另一方面，由于

$$\dfrac{a^2+b^2-1}{ab}=\dfrac ab+\dfrac{b-\dfrac 1b}{a}\leqslant \max\left\{b,\dfrac b{\sqrt 3}+\dfrac{2}{\sqrt 3b}\right\}\leqslant \sqrt 3,$$ 等号当$(a,b)=\left(1,\sqrt 3\right)$时取得．因此所求代数式的最大值为$\sqrt 3$．

综上所述，所求代数式的取值范围是$\left[1,\sqrt 3\right]$．

法二　设$a,b,1$是$\triangle ABC$的三边，则

$$\dfrac{a^2+b^2-1}{ab}=2\cos C.$$ 如图，点$C$在区域$DEFG$中运动．而区域$DEFG$一方面在$\triangle ABE$的外接圆外部(包含边界)，一方面在四边形$ABDF$的外接圆内部(包含边界)．因此当$C$点位于$E$点位置时，$2\cos C$最小为$1$，当$C$点位于$D,F$位置时$C$最小，$2\cos C$最大，为$\sqrt 3$．

综上所述，所求代数式的取值范围是$\left[1,\sqrt 3\right]$．

注　法一中第二个不等式，考虑的是关于$a$的对勾函数$m(a)=\dfrac ab+\dfrac {b-\frac 1b}{a}$的最值得到的．