每日一题[973]必要条件探路

设$a<0$，且$\forall x\in (a,b),\left(x^2+2017a\right)(x+2016b)\geqslant 0$，则$b-a$的最大值为_______．

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正确的答案是$2017$．

分析与解　若$b>0$，则$0\in(a,b)$，令$x=0$得

$$\left(0^2+2017a\right)(0+2016b)\geqslant 0,$$ 从而得到$b\leqslant 0$，所以$b\leqslant 0$．

根据题意，必然有

$$\left(a^2+2017a\right)(a+2016b)\geqslant 0,$$ 于是$a^2+2017a\leqslant 0$，进而$-2017\leqslant a<0$．因此 $$b-a\leqslant 0-(-2017)=2017.$$ 当$(a,b)=(-2017,0)$时，题中不等式即 $$x\left(x^2-2017^2\right)\geqslant 0,$$ 符合题意．

综上所述，$b-a$的最大值为$2017$．