每日一题[965]立体几何中的计数

在四面体的顶点和各棱中点共$10$个点中,其中两两连线共可组成的异面直线对数为_______.


cover正确答案是$255$.

分析与解 由这$10$个点组成的直线共有$33$条,所有的直线对数为${\rm C}_{33}^2=528$,接下来考虑其中共面的直线对.

如图,共面的直线对分为$5$类,合计对数为\[4{\rm C}_9^2+3{\rm C}_6^2+6{\rm C}_4^2+4{\rm C}_3^2+12{\rm C}_3^2=273.\]因此所求的异面直线对数为$528-273=255$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了, 标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论