每日一题[103] 椭圆化圆

（2015年北京市朝阳区高三一模理科数学）已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的一个焦点为$F(2,0)$，离心率为$\dfrac{\sqrt 6}{3}$．过焦点$F$的直线$l$与椭圆$C$交于$A$、$B$两点，线段$AB$的中点为$D$，$O$为坐标原点，过$O$、$D$的直线交椭圆于$M$、$N$两点．

（1）求椭圆$C$的方程；

（2）求四边形$AMBN$面积的最大值．

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（1）容易求得椭圆$C:\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{2}=1$；

（2）根据题意可得

$$AMBN=\dfrac 12\cdot AB\cdot MN \cdot \sin\langle AB,MN\rangle,$$ 其中$AB$、$MN$及$\langle AB,MN\rangle$均随着直线$l$的运动而改变．

考虑用伸缩变换将其拉成圆，只需要将每个点的纵坐标变成原来的$\sqrt 3$倍，横坐标不变即可，如图．

此时$M'N'$为圆$x'^2+y'^2=6$的直径为定值$2\sqrt 6$，而由垂径定理$\langle A'B',M'N'\rangle=\dfrac{\pi}{2}$亦为定值，此时可得

$$A'M'B'N'=\sqrt 6A'B'\leqslant \sqrt 6\cdot 2\sqrt 6=12,$$ 等号当且仅当$A'B'$为直径，也即直线$l:y=0$时取得，此时四边形$AMBN$的面积取得最大值 $$\dfrac{A'M'B'N'}{\sqrt 3}=4\sqrt 3.$$