每日一题[963]数列的极大值点

若数列$\{a_n\}$中，定义集合

$$A_m=\{a_k \mid |k-m|\leqslant 1,k\in\mathbb N^*\},$$ 其中$m\in\mathbb N^*$，若数列中项$a_m$是集合$A_m$中的最大数，称$m$是数列$\{a_n\}$的一个极大值点．求证：在二项式$\left(x^p+rx^q\right)^m$($m\in\mathbb N^*$，且$r>0$)的展开式的系数构成的数列中不可能存在不相邻的两个极大值点．

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证明    根据题意，记系数构成的数列为

$$a_n={\rm C}_m^nr^n,$$ 有 $$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{{\rm C}_m^{n+1}r^{n+1}}{{\rm C}_m^{n}r^n}=\dfrac{m-n}{n+1}\cdot r,$$ 记 $$\varphi(x)=\dfrac{m-x}{x+1}\cdot r,$$ 则函数$\varphi(x)$单调递减，于是$\varphi(x)=1$至多只有一个实数解$x_0$，因此数列$\{a_n\}$至多有两个极大值点$[x_0],[x_0]+1$，命题得证．