每日一题[962]截距的范围

已知抛物线$x^2=4y$的焦点为$F$,点$A,B,C$为该抛物线上不同的三点,且满足$\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{0}$,若直线$AB$存在截距$m$,求$m$的取值范围.


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正确答案是$\left(-\dfrac 12,1\right)\cup\left(1,\dfrac 32\right]$.

分析与解    设$A\left(2a,a^2\right)$,$B\left(2b,b^2\right)$,$C\left(2c,c^2\right)$,则由题意可得\[\begin{cases}a+b+c=0,\\ a^2+b^2+c^2=3,\end{cases}\]进而\[\begin{cases}a+b=-c,\\ a^2+b^2=3-c^2.\end{cases}\]另一方面,有\[m=\dfrac{2a\cdot b^2-2b\cdot a^2}{2a-2b}=-ab,\]且$a\ne b$.这样就有\[2ab=(a+b)^2-\left(a^2+b^2\right)=2c^2-3\geqslant -3,\]且\[6ab< (a+b)^2+\left(a^2+b^2\right)=3,\]于是\[-\dfrac 12< -ab\leqslant \dfrac 32,\]且当$a\to b$时,$-ab\to -\dfrac 12$;当$(a,b,c)=\left(\dfrac{\sqrt 6}2,-\dfrac{\sqrt 6}2,0\right)$时,$-ab=\dfrac 32$.

另一方面有$a\ne c$,而当$a=c$时,有$b=-2c$,此时有$c^2=\dfrac 12$,$m=-ab=-2c^2=1$,当$m=1$时,容易得到$c=a$或$c=b$,故舍去,所以$m\ne 1$.

综上知$m$的取值范围是$\left(-\dfrac 12,1\right)\cup\left(1,\dfrac 32\right]$.

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每日一题[962]截距的范围》有 2 条评论

  1. 7说:

    您好,截距为1时,直线AB过焦点F,此时ABC三点共线或者C点不存在,不知道是不是我疏漏了什么

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