每日一题[948]简洁明了

如图，已知椭圆 $\Gamma$ 的一个焦点为 $F$ ，与其对应的准线为 $l$ ．直线 $AB$ 交椭圆 $\Gamma$ 于 $A,B$ 两点，交准线 $l$ 于点 $C$ ．直线 $AF$ 交准线 $l$ 于点 $D$ ．求证： $FC$ 平分 $\angle BFD$ ．

　作 $AM$ 垂直准线 $l$ 于点 $M$ ，作 $BN$ 垂直准线 $l$ 于点 $N$ ．因为

\frac{| F A |}{| F B |} = \frac{| M A |}{| N B |} = \frac{| C A |}{| C B |},

$\dfrac{|FA|}{|FB|}=\dfrac{|MA|}{|NB|}=\dfrac{|CA|}{|CB|},$ 故

F C

$FC$ 是

△ F A B

$\triangle FAB$ 中

∠ A F B

$\angle AFB$ 的外角平分线，即

F C

$FC$ 平分

∠ B F D

$\angle BFD$ ．

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