每日一题[943]集合的基底

已知两个集合$A,B$满足$B\subseteq A$．若对任意$x\in A$，存在$a_i,a_j\in B\ \left(i\ne j\right)$，使得

$$x=\lambda_1a_i+\lambda_2a_j\ \left(\lambda_1,\lambda_2\in\{-1,0,1\}\right),$$ 则称$B$为$A$的一个基集．若$A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$，则其基集$B$的元素个数的最小值是_______．

---

正确答案是$4$．

分析与解　设集合$A$的基集$B$中含有$m$个元素．

若$m=3$，不妨设$B=\{a,b,c\}$，其中$a>b>c$，则用

$$\lambda_1a_i+\lambda_2a_j\ \left(\lambda_1,\lambda_2\in\{-1,0,1\}\right)$$ 的方式最多只能表示出集合$A$中 $$a+b,b+c,c+a,a-b,b-c,a-c,a,b,c$$ 这$9$个元素，不合题意．故$m \geqslant 4$．

取$B=\{1,4,6,9\}$，满足题意．

综上所述，$m$的最小值为$4$．

注　$B$的取法不唯一，比如$B=\{3,4,5,6\}$也可以．