给定正整数n，已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平，可以称出质量为1,2,3,⋯,n克的所有物品．求k的最小值f(n)．
分析与解 设这k块砝码的质量数分别为a1,a2,⋯,ak，且
1⩽a1⩽a2⩽⋯⩽ak, ai∈Z, i=1,2,⋯,k.
因为天平两端都可以放砝码，故可称质量为k∑i=1xiai,
其中xi∈{−1,0,1}，i=1,2,⋯,k．若利用这k块砝码可以称出质量为1,2,3,⋯,n的物品，则上述表示式中含有1,2,3,⋯,n，由对称性易知也含有0,−1,−2,⋯,−n，即{0,±1,±2,⋯,±n}⊆{k∑i=1xiai|xi∈{−1,0,1}, i=1,2,⋯,k}.
所以2n+1⩽|{0,±1,±2,⋯,±n}|⩽|{k∑i=1xiai|xi∈{−1,0,1}, i=1,2,⋯,k}|⩽3k,
即n⩽3k−12．
设3m−1−12<n⩽3m−12，其中m∈N∗，则k⩾m．
当k=m时，取a1=1,a2=3,⋯,am=3m−1,
由数的三进制表示可知，对任意p∈{0,1,2,⋯,3m−1}，都有p=m∑i=1yi3i−1，其中yi∈{0,1,2}，因此p−3m−1−12=m∑i=1yi3i−1−m∑i=13i−1=m∑i=1(yi−1)3i−1.
令xi=yi−1，则xi∈{−1,0,1}，i=1,2,⋯,m．故对任意整数l∈[−3m−12,3m−12],
都有l=m∑i=1xi3i−1,
其中xi∈{−1,0,1}，i=1,2,⋯,m．
由于n⩽3m−12，因此，对一切正整数l∈[−n,n]，也有上述表示．
综上所述，k的最小值f(n)=m，其中3m−1−12<n⩽3m−12，m∈N∗．
注 可以进一步证明，当且仅当n=3m−12，m∈N∗时，上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的．