每日一题[932]存在性问题的证明

已知函数$f(x)={\rm e}^{ax}-x$．
(1) 若曲线$y=f(x)$在$(0,f(0))$处的切线$l$与直线$x+2y+3=0$垂直，求$a$的值；
(2) 当$a\ne 1$时，求证：存在实数$x_0$使$f(x_0)<1$．

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分析与解　(1) 函数$f(x)$的导函数

$$f'(x)=a{\rm e}^{ax}-1,$$ 于是 $$f'(0)=a-1=2,$$ 因此$a=3$．

(2) 情形一　$a\leqslant 0$．此时取$x_0=1$，则有

$$f(x_0)={\rm e}^a-1<0<1,$$ 命题成立；

情形二　$a>0$且$a\ne 1$．此时命题等价于对于实数$a>0$且$a\ne 1$，有

$$\exists x\in \mathbb R,{\rm e}^x<\dfrac 1ax+1.$$ 考虑函数$g(x)=\left(\dfrac 1ax+1\right){\rm e}^{-x}$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac 1a\left(1-a-x\right){\rm e}^{-x},$$ 因此函数$g(x)$的极大值，亦为最大值为 $$g\left(1-a\right)=\dfrac 1a{\rm e}^{a-1}=\dfrac{{\rm e}^a}{{\rm e}a}>1,$$ 因此命题成立．

综上所述，原命题得证．

情形二另法　当$a>0$时，$f'(x)=a{\rm e}^{ax}-1$单调递增，且$f'(0)=a-1$．

若$a\in(0,1)$，记$f'(x)$的唯一零点为$m$，因为$f'(0)<0=f'(m)\Rightarrow m>0$，在区间$(0,m)$上$f'(x)<0$，所以$f(x)$单调递减，而$f(0)=1$，所以$f(x)<1$；

若$a\in(1,+\infty)$，则$f'(0)>0=f'(m)$，所以$m<0$，从而有区间$(m,0)$上有$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增，所以$f(x)<f(0)=1$.

综上知$a\ne 1$时，均存在实数$x_0$，使得$f(x_0)<1$.