每日一题[931]轨迹问题

已知椭圆$G:\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($0<b<\sqrt{6}$)的两个焦点分别为$F_1$和$F_2$，短轴的两个端点分别为$B_1$和$B_2$，点$P$在椭圆$G$上，且满足$\left|PB_1\right|+\left|PB_2\right|=\left|PF_1\right|+\left|PF_2\right|$．当$b$变化时，给出下列三个命题：
(1) 点$P$的轨迹关于$y$轴对称；
(2) 存在$b$使得椭圆$G$上满足条件的点$P$仅有两个；
(3) $|OP|$的最小值为$2$，
其中，所有正确命题的序号是_______．

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正确答案是(1)(3)．

分析与解　对于(1)，根据题意，$P(x,y)$满足

$$\begin{cases}\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,\\ \dfrac{y^2}{6}+\dfrac{x^2}{6-b^2}=1,\end{cases}$$ 因此点$P$的轨迹关于$y$轴对称．事实上，点$P$的轨迹还关于$x$轴和原点$O$对称；

对于(2)，由于$P$点是两个椭圆的公共点，因此若命题(2)成立，则对应的$P$为椭圆$G$的上下顶点或左右顶点，容易验证这两种情形都不符合题意；

对于(3)，由于$|OP|^2=x^2+y^2$，因此

$$\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{|OP|^2-x^2}{b^2}=\dfrac{x^2}{6-b^2}+\dfrac{|OP|^2-x^2}{6}=1,$$ 进而有 $$x^2=\dfrac{1-\dfrac{|OP|^2}{b^2}}{\dfrac 16-\dfrac 1{b^2}}=\dfrac{1-\dfrac{|OP|^2}6}{\dfrac{1}{6-b^2}-\dfrac 16},$$ 化简得 $$|OP|^2=6-\dfrac{1}{\dfrac{1}{6-b^2}+\dfrac{1}{b^2}-\dfrac 16}\geqslant 6-\dfrac{1}{\dfrac 23-\dfrac 16}=4,$$ 因此$|OP|$的最小值为$2$，当$b=\sqrt 3$时取得．