每日一题[927]内心的轨迹

设$P$为椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)上的动点，$F_1,F_2$为椭圆的两个焦点，$I$为$\triangle PF_1F_2$的内心，求点$I$的轨迹方程．

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正确答案是$\dfrac{x^2}{c^2}+\dfrac{y^2}{\dfrac{a-c}{a+c}\cdot c^2}=1$($y\ne 0$)，其中$c^2=a^2-b^2$．

分析与解　如图，设内切圆$I$与$F_1F_2$的切点为$H$，半径为$r$，且$F_1H=y$，$F_2H=z$，$PF_1=x+y$，$PF_2=x+z$，$c=\sqrt{a^2-b^2}$，则

$$\begin{cases} y+z=2c,\\ 2x+y+z=2a.\end{cases}$$ 直线$IF_1$与$IF_2$的斜率之积 $$k_{IF_1}\cdot k_{IF_2}=-\dfrac{IH^2}{F_1H\cdot F_2H}=-\dfrac{r^2}{yz},$$ 而根据海伦公式，有$\triangle PF_1F_2$的面积为 $$(x+y+z)r=\sqrt{xyz(x+y+z)},$$ 因此有 $$k_{IF_1}\cdot k_{IF_2}=-\dfrac{x}{x+y+z}=-\dfrac{a-c}{a+c}.$$ 再根据椭圆的斜率积定义，可得$I$点的轨迹是以$F_1F_2$为长轴，离心率$e$满足 $$e^2-1=-\dfrac{a-c}{a+c}$$ 的椭圆，其标准方程为 $$\dfrac{x^2}{c^2}+\dfrac{y^2}{\dfrac{a-c}{a+c}\cdot c^2}=1,y\ne 0.$$ 其他方法　令$P(a\cos\theta,b\sin\theta)$，则$\sin\theta\ne 0$．三角形$PF_1F_2$的面积 $$S=\dfrac 12\cdot 2c\cdot|b\sin\theta|=\dfrac 12(2c+2a)\cdot r,$$ 其中$r$为内切圆的半径，解得 $$r=\dfrac{bc\cdot|\sin\theta|}{a+c}=|y_I|.$$ 另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得 $$(c-x_I)-(x_I+c)=|PF_1|-|PF_2|=(a-c\cos\theta)-(a+c\cos\theta),$$ 从而有$x_I=c\cos\theta$．消去$\theta$得到点$I$的轨迹方程为 $$\dfrac{x^2}{c^2}+\dfrac{y^2}{\dfrac{a-c}{a+c}\cdot c^2}=1,y\ne 0.$$