每日一题[922]四点共球

已知空间四边形$ABCD$的四个顶点都在球$O$的球面上，$E,F$分别是$AB,CD$的中点，且$EF\perp AB$，$EF\perp CD$．若$AB=EF=4$，$CD=8$，则球$O$的半径为_______．
正确答案是$\dfrac{\sqrt{65}}2$．

分析与解　如图，线段$AB$和$CD$分别是圆台两个底面的直径，$EF$是连接底面中心的线段． 根据题意，球$O$的半径$r$满足

$$r^2=OE^2+\left(\dfrac 12AB\right)^2=OF^2+\left(\dfrac 12CD\right)^2,$$ 于是 $$OE^2-OF^2=\left(\dfrac 12CD\right)^2-\left(\dfrac 12AB\right)^2=12,$$ 因此$O$在线段$EF$上，$OE+OF=4$，$OE-OF=3$，于是$OF=\dfrac 12$，进而所求半径 $$r=\sqrt{OF^2+\left(\dfrac 12CD\right)^2}=\dfrac{\sqrt{65}}2.$$

---

练习　已知空间四边形$ABCD$的四个顶点都在球$O$的球面上，$AB=4$，$CD=8$，$AC=BC=BD=DA$，且平面$ACD$与平面$BCD$垂直，则球$O$的半径为______．

答案　$2\sqrt 5$．

分析　如图，设$M,N$分别为$CD,AB$的中点，由$AC=AD$，$BC=BD$可得$AM\perp CD$，$BM\perp CD$，进而由平面$ACD$与平面$BCD$垂直可得$AM,BM,CD$两两垂直，又$\triangle ACD$与$\triangle BCD$全等，于是$AM=BM$，因此$MN$是$AB$与$CD$的公垂线段，从而球心$O$在直线$MN$上，进而可解得球的半径．