每日一题[921]分组求和

已知数列$a_n=\dfrac{2^n}3$，$n\in\mathbb N^*$，$b_n=\left[a_n\right]$，其中$[x]$表示$x$的整数部分，则数列$\{b_n\}$的前$2n$项和为_______．

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正确答案是$\dfrac 23\left(4^n-1\right)-n,n\in\mathbb N^*$．

分析与解　法一　写出数列$\{b_n\}$的前几项，为

$$0,1,2,5,10,21,42,85,\cdots$$ 于是可归纳出 $$b_{n+1}=\begin{cases} 2b_n,& 2 \mid n,\\ 2b_n+1,& 2\nmid n,\end{cases}$$ 于是可得 $$b_{2n-1}+b_{2n}=4\left(b_{2n-3}+b_{2n-2}\right)+3,n\geqslant 2,n\in\mathbb N^*,$$ 结合$b_1+b_2=1$，可得 $$b_{2n-1}+b_{2n}=\dfrac {4^n}2-1,n\in\mathbb N^*,$$ 因此所求的前$2n$项和 $$S_n=\dfrac 23\left(4^n-1\right)-n,n\in\mathbb N^*.$$

法二　考虑到

$$\begin{split}\left[\dfrac{2^n}3\right]&=\left[\dfrac{(3-1)^n}3\right]\\&=\left[\dfrac{{\rm C}_n^03^n-{\rm C}_n^13^{n-1}+{\rm C}_n^23^{n-2}+\cdots+(-1)^n{\rm C}_n^n}3\right]\\&={\rm C}_n^03^{n-1}-{\rm C}_n^13^{n-2}+{\rm C}_n^23^{n-3}+\cdots+\left[\dfrac{(-1)^n}3\right]\\&=\begin{cases}\dfrac{2^n}3-\dfrac 23,& 2\nmid n,\\ \dfrac{2^n}3-\dfrac 13,& 2\mid n,\end{cases}\end{split}$$ 于是有 $$b_{2n-1}+b_{2n}=a_{2n-1}+a_{2n}-1=\dfrac{4^n}2-1,$$ 因此所求的前$2n$项和 $$S_n=\dfrac 23\left(4^n-1\right)-n,n\in\mathbb N^*.$$ 法二中也可以直接由 $$b_n=\begin{cases} a_n-\dfrac 13,2\mid n,\\a_n-\dfrac 23,2\nmid n,\end{cases}$$ 从而 $$\sum_{i=1}^{2n}b_i=\sum_{i=1}^{2n}a_i-n$$ 得到结果．