每日一题[921]分组求和

已知数列an=2n3nNbn=[an],其中[x]表示x的整数部分,则数列{bn}的前2n项和为_______.


正确答案是23(4n1)n,nN

分析与解 法一 写出数列{bn}的前几项,为0,1,2,5,10,21,42,85,于是可归纳出bn+1={2bn,2n,2bn+1,2n,于是可得b2n1+b2n=4(b2n3+b2n2)+3,n结合b_1+b_2=1,可得b_{2n-1}+b_{2n}=\dfrac {4^n}2-1,n\in\mathbb N^*,因此所求的前2n项和S_n=\dfrac 23\left(4^n-1\right)-n,n\in\mathbb N^*.

法二 考虑到\begin{split}\left[\dfrac{2^n}3\right]&=\left[\dfrac{(3-1)^n}3\right]\\&=\left[\dfrac{{\rm C}_n^03^n-{\rm C}_n^13^{n-1}+{\rm C}_n^23^{n-2}+\cdots+(-1)^n{\rm C}_n^n}3\right]\\&={\rm C}_n^03^{n-1}-{\rm C}_n^13^{n-2}+{\rm C}_n^23^{n-3}+\cdots+\left[\dfrac{(-1)^n}3\right]\\&=\begin{cases}\dfrac{2^n}3-\dfrac 23,& 2\nmid n,\\ \dfrac{2^n}3-\dfrac 13,& 2\mid n,\end{cases}\end{split}于是有b_{2n-1}+b_{2n}=a_{2n-1}+a_{2n}-1=\dfrac{4^n}2-1,因此所求的前2n项和S_n=\dfrac 23\left(4^n-1\right)-n,n\in\mathbb N^*.法二中也可以直接由b_n=\begin{cases} a_n-\dfrac 13,2\mid n,\\a_n-\dfrac 23,2\nmid n,\end{cases} 从而\sum_{i=1}^{2n}b_i=\sum_{i=1}^{2n}a_i-n得到结果.

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