已知数列an=2n3,n∈N∗,bn=[an],其中[x]表示x的整数部分,则数列{bn}的前2n项和为_______.
正确答案是23(4n−1)−n,n∈N∗.
分析与解 法一 写出数列{bn}的前几项,为0,1,2,5,10,21,42,85,⋯于是可归纳出bn+1={2bn,2∣n,2bn+1,2∤n,于是可得b2n−1+b2n=4(b2n−3+b2n−2)+3,n⩾2,n∈N∗,结合b1+b2=1,可得b2n−1+b2n=4n2−1,n∈N∗,因此所求的前2n项和Sn=23(4n−1)−n,n∈N∗.
法二 考虑到[2n3]=[(3−1)n3]=[C0n3n−C1n3n−1+C2n3n−2+⋯+(−1)nCnn3]=C0n3n−1−C1n3n−2+C2n3n−3+⋯+[(−1)n3]={2n3−23,2∤n,2n3−13,2∣n,于是有b2n−1+b2n=a2n−1+a2n−1=4n2−1,因此所求的前2n项和Sn=23(4n−1)−n,n∈N∗.法二中也可以直接由bn={an−13,2∣n,an−23,2∤n,从而2n∑i=1bi=2n∑i=1ai−n得到结果.