已知数列$a_n=\dfrac{2^n}3$，$n\in\mathbb N^*$，$b_n=\left[a_n\right]$，其中$[x]$表示$x$的整数部分，则数列$\{b_n\}$的前$2n$项和为_______．
正确答案是$\dfrac 23\left(4^n-1\right)-n,n\in\mathbb N^*$．
分析与解 法一 写出数列$\{b_n\}$的前几项，为\[0,1,2,5,10,21,42,85,\cdots\]于是可归纳出\[b_{n+1}=\begin{cases} 2b_n,& 2 \mid n,\\ 2b_n+1,& 2\nmid n,\end{cases}\]于是可得\[b_{2n-1}+b_{2n}=4\left(b_{2n-3}+b_{2n-2}\right)+3,n\geqslant 2,n\in\mathbb N^*,\]结合$b_1+b_2=1$，可得\[b_{2n-1}+b_{2n}=\dfrac {4^n}2-1,n\in\mathbb N^*,\]因此所求的前$2n$项和\[S_n=\dfrac 23\left(4^n-1\right)-n,n\in\mathbb N^*.\]
法二 考虑到\[\begin{split}\left[\dfrac{2^n}3\right]&=\left[\dfrac{(3-1)^n}3\right]\\&=\left[\dfrac{{\rm C}_n^03^n-{\rm C}_n^13^{n-1}+{\rm C}_n^23^{n-2}+\cdots+(-1)^n{\rm C}_n^n}3\right]\\&={\rm C}_n^03^{n-1}-{\rm C}_n^13^{n-2}+{\rm C}_n^23^{n-3}+\cdots+\left[\dfrac{(-1)^n}3\right]\\&=\begin{cases}\dfrac{2^n}3-\dfrac 23,& 2\nmid n,\\ \dfrac{2^n}3-\dfrac 13,& 2\mid n,\end{cases}\end{split}\]于是有\[b_{2n-1}+b_{2n}=a_{2n-1}+a_{2n}-1=\dfrac{4^n}2-1,\]因此所求的前$2n$项和\[S_n=\dfrac 23\left(4^n-1\right)-n,n\in\mathbb N^*.\]法二中也可以直接由$$b_n=\begin{cases} a_n-\dfrac 13,2\mid n,\\a_n-\dfrac 23,2\nmid n,\end{cases} $$从而$$\sum_{i=1}^{2n}b_i=\sum_{i=1}^{2n}a_i-n$$得到结果．