每日一题[921]分组求和

已知数列an=2n3nNbn=[an],其中[x]表示x的整数部分,则数列{bn}的前2n项和为_______.


正确答案是23(4n1)n,nN

分析与解 法一 写出数列{bn}的前几项,为0,1,2,5,10,21,42,85,于是可归纳出bn+1={2bn,2n,2bn+1,2n,于是可得b2n1+b2n=4(b2n3+b2n2)+3,n2,nN,结合b1+b2=1,可得b2n1+b2n=4n21,nN,因此所求的前2n项和Sn=23(4n1)n,nN.

法二 考虑到[2n3]=[(31)n3]=[C0n3nC1n3n1+C2n3n2++(1)nCnn3]=C0n3n1C1n3n2+C2n3n3++[(1)n3]={2n323,2n,2n313,2n,于是有b2n1+b2n=a2n1+a2n1=4n21,因此所求的前2n项和Sn=23(4n1)n,nN.法二中也可以直接由bn={an13,2n,an23,2n,从而2ni=1bi=2ni=1ain得到结果.

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