每日一题[912]正负传导

已知函数$f(x)=\sin x+\tan x$，项数为$2m+1$的等差数列$\{a_n\}$满足$a_n\in\left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$，且公差$d\ne 0$，若$f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_{2m+1})=0$，求证：$a_{m+1}=0$．

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分析与解　由于函数$f(x)$是单调递增的奇函数，因此有

$${\rm sgn}(a+b)={\rm sgn}\left(f(a)+f(b)\right),$$ 其中 $${\rm sgn}(x)=\begin{cases}1,&x>0,\\ 0,&x=0,\\-1,&x<0.\end{cases}$$ 由等差数列的性质，有 $$a_1+a_{2m+1}=a_2+a_{2m}=\cdots=2a_{m+1},$$ 于是 $${\rm sgn}(a_1+a_{2m+1})={\rm sgn}(a_2+a_{2m})=\cdots={\rm sgn}(a_{m+1}),$$ 因此 $${\rm sgn}(f(a_1)+f(a_{2m+1}))={\rm sgn}(f(a_2)+f(a_{2m}))=\cdots={\rm sgn}(f(a_{m+1})),$$ 进而 $${\rm sgn}\left(f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_{2m+1})\right)={\rm sgn}(f(a_{m+1})),$$ 这是一个比原命题更强的命题．

注　${\rm sgn}(x)$是符号函数，${\rm sgn}(a+b)={\rm sgn}\left(f(a)+f(b)\right)$表示$a+b$与$f(a)+f(b)$的符号相同，同正同负或同为零．所以本题不用符号函数表述可以用反证法，若$a_{m+1}\ne 0$，那么当$a_{m+1}>0$时，有

$$\forall\ i+j=2m+2:\ a_i+a_j=2a_{m+1}>0,$$ 从而有 $$\forall i+j=2m+2,a_i>-a_j\Rightarrow f(a_i)>f(-a_j)=-f(a_j)\Rightarrow f(a_i)+f(a_j)>0.$$ 求和即可得到$f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_{2m+1})>0$，矛盾；同样的，若$a_{m+1}<0$也可以导出矛盾．