已知函数$f(x)=\sin x+\tan x$，项数为$2m+1$的等差数列$\{a_n\}$满足$a_n\in\left(-\dfrac{\pi}2,\dfrac{\pi}2\right)$，且公差$d\ne 0$，若$f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_{2m+1})=0$，求证：$a_{m+1}=0$．
分析与解 由于函数$f(x)$是单调递增的奇函数，因此有\[{\rm sgn}(a+b)={\rm sgn}\left(f(a)+f(b)\right),\]其中\[{\rm sgn}(x)=\begin{cases}1,&x>0,\\ 0,&x=0,\\-1,&x<0.\end{cases}\]由等差数列的性质，有\[a_1+a_{2m+1}=a_2+a_{2m}=\cdots=2a_{m+1},\]于是\[{\rm sgn}(a_1+a_{2m+1})={\rm sgn}(a_2+a_{2m})=\cdots={\rm sgn}(a_{m+1}),\]因此\[{\rm sgn}(f(a_1)+f(a_{2m+1}))={\rm sgn}(f(a_2)+f(a_{2m}))=\cdots={\rm sgn}(f(a_{m+1})),\]进而\[{\rm sgn}\left(f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_{2m+1})\right)={\rm sgn}(f(a_{m+1})),\]这是一个比原命题更强的命题．
注 ${\rm sgn}(x)$是符号函数，${\rm sgn}(a+b)={\rm sgn}\left(f(a)+f(b)\right)$表示$a+b$与$f(a)+f(b)$的符号相同，同正同负或同为零．所以本题不用符号函数表述可以用反证法，若$a_{m+1}\ne 0$，那么当$a_{m+1}>0$时，有$$\forall\ i+j=2m+2:\ a_i+a_j=2a_{m+1}>0,$$从而有$$\forall i+j=2m+2,a_i>-a_j\Rightarrow f(a_i)>f(-a_j)=-f(a_j)\Rightarrow f(a_i)+f(a_j)>0.$$求和即可得到$f(a_1)+f(a_2)+\cdots+f(a_{2m+1})>0$，矛盾；同样的，若$a_{m+1}<0$也可以导出矛盾．