每日一题[911]数量积的最值

已知向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b$的夹角为$\dfrac{\pi}3$，$\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|=5$，向量$\overrightarrow c-\overrightarrow a,\overrightarrow c-\overrightarrow b$的夹角为$\dfrac{2\pi}3$，$\left|\overrightarrow c-\overrightarrow a\right|=2\sqrt 3$，求$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c$的最大值．

正确答案是$24$．

分析与解　如图，圆$P$的弦$AB$对应的劣弧的圆周角为$\dfrac{\pi}3$，弦$AB$的长度为$5$，$O$是优弧$AB$上一点，$C$是劣弧$AB$上一点，且$AC=2\sqrt 3$，则$\overrightarrow a=\overrightarrow {OA}$，$\overrightarrow b=\overrightarrow {OB}$，$\overrightarrow c=\overrightarrow{OC}$．事实上，$C$点还可能为图中$C$点位置关于$AB$对称的位置，但考虑到求$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c$的最大值，可以略去该位置．

法一　注意到弦$AC$为定值，其所对的角$\angle AOC$为定角，考虑到 $$\left|\overrightarrow a-\overrightarrow c\right|^2=\overrightarrow a^2+\overrightarrow c^2-2\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c=\left(\left|\overrightarrow a\right|-\left|\overrightarrow c\right|\right)^2+\left(\dfrac{2}{\cos\angle AOC}-2\right)\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c=12$$ 为定值，因此当$OA=OC$时，$\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c$最大．在$\triangle ABC$中应用正弦定理，可得 $$\dfrac{AB}{\sin\angle ACB}=\dfrac{AC}{\sin\angle ABC},$$ 于是$\sin\angle ABC=\dfrac 35$，$\cos\angle ABC=\dfrac 45$，因此所求最大值为 $$\dfrac{12}{2\cdot \dfrac 54-2}=24.$$ 法二　根据极化恒等式，有 $$\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow{OC}=OM^2-\dfrac 14AC^2,$$ 其中$M$为线段$AC$的中点．由于 $$OM\leqslant OP+PM=\dfrac{5}{\sqrt 3}+PM,$$ 当$O,P,M$三点共线时取等号．在$\triangle APM$中有 $$PM=\sqrt{PA^2-AM^2}=\dfrac{4}{\sqrt 3}.$$ 所以所求的最大值为 $$\left(\dfrac{5}{\sqrt 3}+\dfrac{4}{\sqrt 3}\right)^2-3=24.$$