每日一题[906]论证与构造

已知含有$n$个元素的正整数集$A=\left\{a_1,a_2,\cdots,a_n\right\}$($a_1<a_2<\cdots<a_n$，$n\geqslant 3$)具有性质$P$：对任意不大于$S(A)$(其中$S(A)=a_1+a_2+\cdots+a_n$)的正整数$k$，存在数集$A$的一个子集，使得该子集所有元素之和等于$k$．

(1) 写出$a_1,a_2$的值；
(2) 证明：“$a_1,a_2,\cdots,a_n$成等差数列”的充要条件是“$S(A)=\dfrac{n(n+1)}2$”；
(3) 若$S(A)=2017$，求当$n$取最小值时，$a_n$的最大值．

分析与解　(1) $a_1=1$，$a_2=2$．

(2) 根据第(1)小题的结果，若$a_1,a_2,\cdots,a_n$成等差数列，那么有 $$a_n=n,n\in\mathbb N^*,$$ 于是 $$S(A)=1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}2.$$ 又由于$a_1<a_2<\cdots<a_n$，于是$a_i\geqslant i$，其中$i=1,2,\cdots,n$．因此 $$S(A)\geqslant 1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}2,$$ 等号当且仅当$a_n=n,n\in\mathbb N^*$时取得．因此当$S(A)=\dfrac{n(n+1)}2$时，$a_1,a_2,\cdots,a_n$成等差数列．

综上所述，原命题得证．

(3) $a_n$的最大值为$1009$，这是因为如果$a_n\geqslant 1010$，那么 $$a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}\leqslant 1007,$$ 这就意味着当$k=1008,1009$时，无法用满足题意的方式凑出；取 $$A=\{1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009\},$$ 即可完成符合题意的$n=11$的构造．接下来只需要证明$n$不可能小于$11$．若$n\leqslant 10$，那么数集$A$的非空子集个数为$2^n-1\leqslant 1023$，因此最多表示$1023$个不同的$k$，不符合要求．
综上所述，原命题得证．