每日一题[905]曲线上的四点共圆

已知椭圆$G:\dfrac{x^2}2+y^2=1$，与$x$轴不重合的直线$l$经过左焦点$F$，且与椭圆$G$相交于$A,B$两点，弦$AB$的中点为$M$，直线$OM$与椭圆$G$相交于$C,D$两点．

(1) 若直线$l$的斜率为$1$，求直线$OM$的斜率；

(2) 是否存在直线$l$，使得$|AM|^2=|CM|\cdot |DM|$成立？若存在，求出直线$l$的方程；若不存在，请说明理由．

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分析与解　(1) 根据椭圆的垂径定理，可得

$$k_{OM}\cdot k_{AB}=-\dfrac 12,$$ 于是直线$OM$的斜率为$-\dfrac 12$．

(2) 若$|AM|^2=|CM|\cdot |DM|$，则$A,B,C,D$四点共圆，因此$k_{AB}+k_{CD}=0$，从而直线$l$的斜率为$\pm \dfrac{\sqrt 2}2$，进而其方程为

$$y=\pm \dfrac{\sqrt 2}{2}(x+1).$$

类似问题见每日一题[839]曲线系证共圆、每日一题[2]二次曲线上的四点共圆．