每日一题[900]抛物线的平均性质

已知过定点$A(-1,0)$的直线与抛物线$C:y^2=4x$交于$M,N$两点，$Q$是抛物线上不同于$M,N$的点，若直线$QM$恒过点$(1,-1)$，求证：直线$QN$也恒过定点并求出该定点的坐标．

分析与解　设$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，$Q(x_3,y_3)$，则根据抛物线的平均性质，有$y_1y_2=4$．而 $$\begin{aligned}QM:4x=(y_1+y_3)y-y_1y_3,\\ QN:4x=(y_2+y_3)y-y_2y_3,\end{aligned}$$ 由于直线$QM$恒过点$(1,-1)$，于是 $$y_1+y_3+y_1y_3+4=0.$$ 将$y_2=\dfrac{4}{y_1}$代入$QN$的方程，得 $$4x=\left(\dfrac 4{y_1}+y_3\right)y-\dfrac{4}{y_1}y_3,$$ 可整理得 $$xy_1+y_3-\dfrac y4y_1y_3-y=0,$$ 因此直线$QN$恒过定点$(1,-4)$．