每日一题[97] 先猜后证

（2009年北大自主招生）已知$\forall x\in\mathcal R,a\cos x+b\cos{2x}\geqslant -1$，求$a+b$的最大值与最小值．

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令$\cos{2x}=\cos x$，解得

$$\cos x=1\lor \cos x=-\dfrac 12,$$ 对应有 $$\begin{cases}a+b\geqslant -1,\\-\dfrac 12\left(a+b\right)\geqslant -1.\end{cases}$$ 从而可得 $$-1\leqslant a+b\leqslant 2.$$

又利用判别式可构造出当$(a,b)=\left(-\dfrac 23,-\dfrac 13\right)$时，$a+b=-1$；

当$(a,b)=\left(\dfrac 43,\dfrac 23\right)$时，$a+b=2$；

因此$a+b$的最大值与最小值分别为$2$与$-1$．