每日一题[890]裂项求和

将正偶数按照如下方式进行分组：

$$(2),\ (4,6),\ (8,10,12),\ \cdots,$$ 设第$n\ \left(n\in\mathbb{N}^{*}\right)$组数的和为$a_n$，求数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和$S_n$．

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分析与解　方法一
由于题中第$n$组的最后一个数是$n(n+1)$，前$n$组共有$\dfrac{n(n+1)}{2}$个数，故由等差数列求和公式可知

$$S_n=\dfrac{\left[2+n(n+1)\right]\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}}{2}=\dfrac{n(n+1)\left(n^2+n+2\right)}{4}.$$

方法二　易知，第$n$组数是

$$\left(n^2-n+2,n^2-n+4,\cdots,n^2+n\right),$$ 故 $$a_n=n^3+n.$$ 接下来求$S_n$的时候，我们很自然地考虑分组求和： $$S_n=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^3+\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i.$$

利用我们熟知的乘法公式，得到

$$n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1,$$ 这样我们就有
$$\begin{align*}1^3-0^3&=3\cdot 1^2-3\cdot 1+1,\\2^3-1^3&=3\cdot 2^2-3\cdot 2+1,\\&\vdots\\n^3-(n-1)^3&=3\cdot n^2-3\cdot n+1,\end{align*}$$
将以上各式相加，有$n^3=3\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^2-3\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i+n$，整理即得
$$\begin{equation*} \displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}. \end{equation*}$$

利用我们熟知的乘法公式，得到

$$n^4-(n-1)^4=4n^3-6n^2+4n-1,$$
这样我们就有 $$\begin{align*}1^4-0^4&=4\cdot 1^3-6\cdot 1^2+4\cdot 1-1,\\2^4-1^4&=4\cdot 2^3-6\cdot 2^2+4\cdot 2-1,\\&\vdots\\n^4-(n-1)^4&=4\cdot n^3-6\cdot n^2+4\cdot n-1,\end{align*}$$
将以上各式相加，有$n^4=4\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^3-6\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^2+4\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i-n$，整理即得 $$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}.$$ 故 $$S_n=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}+\dfrac {n(n+1)}2=\dfrac{n(n+1)\left(n^2+n+2\right)}{4}.$$