将正偶数按照如下方式进行分组：
\[(2),\ (4,6),\ (8,10,12),\ \cdots,\]设第$n\ \left(n\in\mathbb{N}^{*}\right)$组数的和为$a_n$，求数列$\left\{a_n\right\}$的前$n$项和$S_n$．
分析与解 方法一
由于题中第$n$组的最后一个数是$n(n+1)$，前$n$组共有$\dfrac{n(n+1)}{2}$个数，故由等差数列求和公式可知\[S_n=\dfrac{\left[2+n(n+1)\right]\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}}{2}=\dfrac{n(n+1)\left(n^2+n+2\right)}{4}.\]
方法二 易知，第$n$组数是\[\left(n^2-n+2,n^2-n+4,\cdots,n^2+n\right),\]故\[a_n=n^3+n.\]接下来求$S_n$的时候，我们很自然地考虑分组求和：\[S_n=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^3+\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i.\]
利用我们熟知的乘法公式，得到\[n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1,\]这样我们就有
\begin{align*}1^3-0^3&=3\cdot 1^2-3\cdot 1+1,\\2^3-1^3&=3\cdot 2^2-3\cdot 2+1,\\&\vdots\\n^3-(n-1)^3&=3\cdot n^2-3\cdot n+1,\end{align*}
将以上各式相加，有$n^3=3\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^2-3\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i+n$，整理即得
\begin{equation*}
\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
\end{equation*}
利用我们熟知的乘法公式，得到\[n^4-(n-1)^4=4n^3-6n^2+4n-1,\]
这样我们就有\begin{align*}1^4-0^4&=4\cdot 1^3-6\cdot 1^2+4\cdot 1-1,\\2^4-1^4&=4\cdot 2^3-6\cdot 2^2+4\cdot 2-1,\\&\vdots\\n^4-(n-1)^4&=4\cdot n^3-6\cdot n^2+4\cdot n-1,\end{align*}
将以上各式相加，有$n^4=4\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^3-6\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^2+4\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i-n$，整理即得\[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}i^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}.\]故\[S_n=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}+\dfrac {n(n+1)}2=\dfrac{n(n+1)\left(n^2+n+2\right)}{4}.\]