每日一题[889]镜面反射

在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，棱$AB$的中点为$P$．若光线从$P$出发，依次经过三个侧面$BCC_1B_1$，$DCC_1D_1$，$ADD_1A_1$反射后，落到侧面$ABB_1A_1$(不包括边界)，求入射光线$PQ$与侧面$BCC_1B_1$所成角的正切值的取值范围．

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正确答案是$\left(\dfrac{3\sqrt 5}{10},\dfrac 54\right)$．

分析与解　不妨设正方体的棱长为$2$．如图，将正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$依次按对应的顺序对称，最后得到正方体$A'B'C'D'-A_1'B_1'C_1'D_1'$．分别连接$PA'$，$PB'$，$PB_1'$，$PA_1'$，与侧面$BCC_1B_1$依次交于$E,F,G,H$，则$Q$点是四边形$EFGH$内部(不包含边界)的一点，所求正切值

$$\tan\theta=\dfrac{PB}{BQ}=\dfrac{1}{BQ}.$$

利用相似三角形，可得

$$BF=\dfrac 45,BE=\dfrac 43,FG=\dfrac 25,EH=\dfrac 23,$$ 于是$BQ$满足 $$\dfrac 45=BF<BQ<BH=\sqrt{BE^2+EH^2}=\dfrac{2\sqrt 5}3,$$ 因此所求正切值的取值范围是$\left(\dfrac{3\sqrt 5}{10},\dfrac 54\right)$．