每日一题[883]函数中的恒成立问题

已知函数$f(x)={\log_2}x-2{\log_2}(x+c)$，其中$c>0$．若对于任意的$x\in (0,+\infty)$，都有$f(x)\leqslant 1$，求实数$c$的取值范围．

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正确答案是$\left[\dfrac 18,+\infty\right)$．

分析与解　根据题意，有

$$\forall x>0,{\log_2}x-2{\log_2}(x+c)\leqslant 1,$$ 即 $$\forall x>0,\dfrac{x}{(x+c)^2}\leqslant 2,$$ 也即 $$\forall x>0,c\geqslant \sqrt{\dfrac x2} -x.$$ 而 $$\sqrt{\dfrac x2}-x=\sqrt {x}\left(\sqrt{\dfrac 12}-\sqrt x\right)\leqslant \dfrac 18,$$ 等号当$x=\dfrac {1}8$时取得，因此实数$c$的取值范围是$\left[\dfrac 18,+\infty\right)$．

注　也可以将恒成立条件转化为

$$\forall x>0,\dfrac {(x+c)^2}{x}=x+\dfrac{c^2}x+2c\geqslant \dfrac 12$$ 恒成立，由均值不等式知左边的最小值为$4c$，所以$4c\geqslant \dfrac 12$，得到$c\geqslant \dfrac 18$．