每日一题[872]居高临下

如图，已知$\triangle ABC$的面积为$2$，$D,E$分别为边$AB,AC$上的点，$F$为线段$DE$上一点，设$\dfrac{AD}{AB}=x,\dfrac{AE}{AC}=y,\dfrac{DF}{DE}=z,$ 且 $y+z-x=1$，则$\triangle BDF$面积的最大值为(　　)

A．$\dfrac{8}{{27}}$
B．$\dfrac{{10}}{{27}}$
C．$\dfrac{{14}}{{27}}$
D．$\dfrac{{16}}{{27}}$

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正确答案是D．

分析与解　如图，连接$BE$，

结合 $\dfrac{AD}{AB}=x,\dfrac{AE}{AC}=y,\dfrac{DF}{DE}=z,$，则

$$\begin{split} S_{\triangle BDF}=&z\cdot S_{\triangle BDE}=\left( {1 - x} \right)z\cdot S_{\triangle BAE}\\=&\left( {1 - x} \right)yz\cdot S_{\triangle ABC}= 2\left( {1 - x}\right)yz\\\leqslant &2{\left( {\frac{{1 - x + y + z}}{3}} \right)^3} = \dfrac{{16}}{{27}}.\end{split}$$ 因此，$\triangle BDF$ 的面积的最大值为 $\dfrac{16}{27}$．