实数a1,a2,⋯,a2017满足a1+a2+⋯+a2017=0,且|a1−2a2|=|a2−2a3|=⋯=|a2016−2a2017|=|a2017−2a1|.求证:a1=a2=⋯=a2017=0.
分析与解 令b1=a1−2a2,b2=a2−2a3,⋯,b2017=a2017−2a1,则
|b1|=|b2|=⋯=|b2017|,b1+b2+⋯+b2017=0.设|b1|=|b2|=⋯=|b2017|=m,则b1,b2,⋯,b2017或者为m或者为−m,设其中有x个m,(2017−x)个−m,则b1+b2+⋯+b2017=mx+(−m)(2017−x)=m(2x−2017).由于2x−2017≠0,因此m=0.
于是b1=b2=⋯=b2017=0,进而易得a1=a2=⋯=a2017=0.