每日一题[864]构造新数列

实数a1,a2,,a2017满足a1+a2++a2017=0,且|a12a2|=|a22a3|==|a20162a2017|=|a20172a1|.求证:a1=a2==a2017=0


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分析与解 令b1=a12a2b2=a22a3b2017=a20172a1,则
|b1|=|b2|==|b2017|,b1+b2++b2017=0.|b1|=|b2|==|b2017|=m,则b1,b2,,b2017或者为m或者为m,设其中有xm(2017x)m,则b1+b2++b2017=mx+(m)(2017x)=m(2x2017).由于2x20170,因此m=0

于是b1=b2==b2017=0,进而易得a1=a2==a2017=0.

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