每日一题[874]椭圆的光学性质

对于两条垂直直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中心的轨迹．

分析与解　由椭圆的几何性质，

| {F_{1}}^{'} F_{2} | = | F_{1} {F_{2}}^{'} | = 2 a .

$\left| {{F_1}^\prime {F_2}} \right| = \left| {{F_1}{F_2}^\prime } \right| = 2a.$

而设

O^{'} (x, y)

$O'\left( {x,y} \right)$ ，则

F_{1} (x - c \cos θ, y + c \sin θ)

${F_1}\left( {x - c\cos \theta ,y + c\sin \theta } \right)$ ，

F_{2} (x + c \cos θ, y - c \sin θ)

${F_2}\left( {x + c\cos \theta ,y - c\sin \theta } \right)$ ，

${F_1}^\prime \left( { - x + c\cos \theta ,y + c\sin \theta } \right)$ ， ${F_2}^\prime \left( {x + c\cos \theta , - y + c\sin \theta } \right)$ ．

所以

{| F_{1} {F_{2}}^{'} |}^{2} = 4 a^{2} = 4 c^{2} \cos^{2} θ + 4 y^{2},

${\left| {{F_1}{F_2}^\prime } \right|^2} = 4{a^2} = 4{c^2}{\cos ^2}\theta + 4{y^2},$

{| F_{2} {F_{1}}^{'} |}^{2} = 4 a^{2} = 4 c^{2} \sin^{2} θ + 4 x^{2} .

${\left| {{F_2}{F_1}^\prime } \right|^2} = 4{a^2} = 4{c^2}{\sin ^2}\theta + 4{x^2}.$ 两式相加，有

x^{2} + y^{2} = 2 a^{2} - c^{2} = a^{2} + b^{2} .

${x^2} + {y^2} = 2{a^2} - {c^2} = {a^2} + {b^2}.$
所以

P

$P$ 点的轨迹是以两条垂直的直线交点为圆心，

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\sqrt {{a^2} + {b^2}}$ 为半径的圆．

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