每日一题[861]拉关系

在$\triangle ABC$中，$\tan A:\tan B:\tan C = 1:2:3$，求$\dfrac{{AC}}{{AB}}$．

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分析与解　设$\tan A = k$，$\tan B = 2k$，$\tan C = 3k$，$k > 0$，则

$$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C.$$ 所以$6k = 6{k^3}$，解得$k = 1$．
因此 $$\tan B = 2,\tan C = 3,$$ 所以 $$\sin B = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }},\sin C = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }}.$$ 于是 $$\dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{{\sin B}}{{\sin C}} = \dfrac{{\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}}}{{\dfrac{3}{{\sqrt {10} }}}} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}.$$

注　三角形中有$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C$成立，也可以用

$$\tan C=-\tan(A+B)=-\dfrac {\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$$ 直接得到方程，事实上，前面的等式正是由此得到的．