每日一题[859]体积转化

在棱长为$a$的正方体$ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$中，$E$为棱$AB$的中点．

(1)求四面体$E - {B_1}{D_1}C$的体积；

(2)求点$C$到平面$EA_1C_1$的距离．

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正确答案是(1)$\dfrac{1}{4}{a^3}$；(2)$\dfrac 13a$．

分析与解　(1)我们熟知，如果一个直线与一个平面平行，则直线上任意一点到平面的距离相等，我们常常利用这个结论对四面体转换端点，从而使得体积更容易求得．

法一　过$C$作$CF\parallel B_1D_1$，交$AD$的延长线于$F$，连结$FB_1,FD,FE$，如下图左：

则有

$$V_{E-B_1D_1C}=V_{D_1-B_1CE}=V_{F-B_1CE}=V_{B_1-ECF}=\dfrac 13\cdot S_{\triangle EFC}\cdot a,$$ 而 $$S_{\triangle EFC}=S_{ABCF}-S_{BCE}-S_{AEF}=\dfrac 34a^2,$$ 所以所求体积为$\dfrac 14a^3$．

法二　过点$E$作$EG\parallel B_1D_1$，交$CB$的延长线于$G$，从而有

$$V_{E-B_1D_1C}=V_{G-B_1D_1C}=V_{D_1-B_1CG}=\dfrac 13\cdot S_{\triangle B_1CG}\cdot a=\dfrac 13\cdot\dfrac 12\cdot\dfrac {3a}2\cdot a\cdot a=\dfrac 14a^3.$$ 如上图右．

(2)法一　转化后直接找垂线

连结$BD,AC$，过点$E$作$EF\parallel A_1C_1$，交$BD,BC$于$H,F$，连结$FC_1$，取上下底面的中心$O,O_1$，连结$OO_1,O_1H$，如下图左：

因为点$O$在$AC$上，且$AC\parallel A_1C_1$，所以点$C$到平面$EA_1C_1$的距离就等于点$O$到平面$EFC_1A_1$的距离．因为$EF\perp$平面$BDO_1$，所以过点$O$在平面$OHO_1$内作$O_1H$的垂线，则此垂线垂直于平面$EFC_1A_1$，由

$$OO_1=a,OH=\dfrac {\sqrt 2}4a,$$ 可求得所求距离为 $$d=\dfrac{a\cdot\frac{\sqrt 2}4a}{\sqrt{a^2+\frac 98a^2}}=\dfrac a3.$$

法二　由体积法求距离

连结$AC$，因为$AC\parallel A_1C_1$，所以点$C$到平面$EA_1C_1$的距离就等于点$A$到平面$EA_1C_1$的距离$d$，考虑四面体$A-A_1C_1E$的体积：

$$V_{A-A_1EC_1}=\dfrac 13\cdot S_{\triangle A_1C_1E}\cdot d=V_{C_1-AEA_1}=\dfrac 13\cdot\dfrac 12\cdot \dfrac a2\cdot a\cdot a=\dfrac 1{12}a^3,$$ 而在$\triangle A_1C_1E$中，有 $$A_1C_1=\sqrt 2a,A_1E=\dfrac {\sqrt 5}2a,C_1E=\dfrac 32a,$$ 由余弦定理得$\cos\angle EA_1C_1=\dfrac 1{\sqrt{10}}$，从而有 $$S_{\triangle A_1C_1E}=\dfrac 12\cdot \sqrt 2a\cdot\dfrac{\sqrt 2}2a\cdot\dfrac{3}{\sqrt{10}}=\dfrac 34a^2,$$ 所以 $$d=\dfrac{\frac{1}{12}a^3}{\frac 13\cdot\frac 34a^2}=\dfrac 13a.$$