在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中,E为棱AB的中点.
(1)求四面体E−B1D1C的体积;
正确答案是(1)14a3;(2)13a.
分析与解 (1)我们熟知,如果一个直线与一个平面平行,则直线上任意一点到平面的距离相等,我们常常利用这个结论对四面体转换端点,从而使得体积更容易求得.
法一 过C作CF∥B1D1,交AD的延长线于F,连结FB1,FD,FE,如下图左:
则有VE−B1D1C=VD1−B1CE=VF−B1CE=VB1−ECF=13⋅S△EFC⋅a,
而S△EFC=SABCF−SBCE−SAEF=34a2,
所以所求体积为14a3.
法二 过点E作EG∥B1D1,交CB的延长线于G,从而有VE−B1D1C=VG−B1D1C=VD1−B1CG=13⋅S△B1CG⋅a=13⋅12⋅3a2⋅a⋅a=14a3.
如上图右.
(2)法一 转化后直接找垂线
连结BD,AC,过点E作EF∥A1C1,交BD,BC于H,F,连结FC1,取上下底面的中心O,O1,连结OO1,O1H,如下图左:
因为点O在AC上,且AC∥A1C1,所以点C到平面EA1C1的距离就等于点O到平面EFC1A1的距离.因为EF⊥平面BDO1,所以过点O在平面OHO1内作O1H的垂线,则此垂线垂直于平面EFC1A1,由OO1=a,OH=√24a,
可求得所求距离为d=a⋅√24a√a2+98a2=a3.
法二 由体积法求距离
连结AC,因为AC∥A1C1,所以点C到平面EA1C1的距离就等于点A到平面EA1C1的距离d,考虑四面体A−A1C1E的体积:VA−A1EC1=13⋅S△A1C1E⋅d=VC1−AEA1=13⋅12⋅a2⋅a⋅a=112a3,
而在△A1C1E中,有A1C1=√2a,A1E=√52a,C1E=32a,
由余弦定理得cos∠EA1C1=1√10,从而有S△A1C1E=12⋅√2a⋅√22a⋅3√10=34a2,
所以d=112a313⋅34a2=13a.