每日一题[859]体积转化

在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱AB的中点.

(1)求四面体EB1D1C的体积;

(2)求点C到平面EA1C1的距离.


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正确答案是(1)14a3;(2)13a

分析与解 (1)我们熟知,如果一个直线与一个平面平行,则直线上任意一点到平面的距离相等,我们常常利用这个结论对四面体转换端点,从而使得体积更容易求得.

法一 过CCFB1D1,交AD的延长线于F,连结FB1,FD,FE,如下图左:

则有VEB1D1C=VD1B1CE=VFB1CE=VB1ECF=13SEFCa,

SEFC=SABCFSBCESAEF=34a2,
所以所求体积为14a3

法二 过点EEGB1D1,交CB的延长线于G,从而有VEB1D1C=VGB1D1C=VD1B1CG=13SB1CGa=13123a2aa=14a3.

如上图右.

(2)法一 转化后直接找垂线

连结BD,AC,过点EEFA1C1,交BD,BCH,F,连结FC1,取上下底面的中心O,O1,连结OO1,O1H,如下图左:

因为点OAC上,且ACA1C1,所以点C到平面EA1C1的距离就等于点O到平面EFC1A1的距离.因为EF平面BDO1,所以过点O在平面OHO1内作O1H的垂线,则此垂线垂直于平面EFC1A1,由OO1=a,OH=24a,

可求得所求距离为d=a24aa2+98a2=a3.

法二 由体积法求距离

连结AC,因为ACA1C1,所以点C到平面EA1C1的距离就等于点A到平面EA1C1的距离d,考虑四面体AA1C1E的体积:VAA1EC1=13SA1C1Ed=VC1AEA1=1312a2aa=112a3,

而在A1C1E中,有A1C1=2a,A1E=52a,C1E=32a,
由余弦定理得cosEA1C1=110,从而有SA1C1E=122a22a310=34a2,
所以d=112a31334a2=13a.

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