每日一题[873]空间向量的基底

如图,四面体ABCD中,O,E分别是BD,BC的中点,AO垂直于平面BCD,且CA=CB=CD=2AB=2,求异面直线ABED所成角的大小.


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分析与解 记CA=2a,CB=2b,CD=2c,

其中a,b,c均为单位向量,则CO=b+c,CE=b,AO=b+c2a,
AO垂直于平面BCD,于是(b+c2a)b=(b+c2a)c=0,
bc2ab+1=0,bc2ac+1=0(i),
AB=2,于是(2a2b)(2a2b)=2,即ab=34(ii),
(i)(ii),得bc=12,ac=34,
AB=2b2aED=2cb,于是异面直线ABED所成角θ满足cosθ=|(2b2a)(2cb)|2(2cb)(2cb)=|4bc24ac+2ab|244bc+1=64,
因此,所求角为arccos64

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