每日一题[850]指数函数遇到二次函数

已知$f(x)=x{\rm e}^x+ax^2-x$，当$x\geqslant 0$时，$f'(x)-f(x)\geqslant (4a+1)x$恒成立，求实数$a$的取值范围．

分析与解　题中不等式即 $${\rm e}^x\geqslant ax^2+2ax+1,$$ 令$g(x)={\mathrm e}^x-(ax^2+2ax+1)$，考虑到$g(0)=0$，而 $$g'(x)={\rm e}^x-2ax-2a,$$ 于是$g'(0)=1-2a$，得到讨论的分界点为$\dfrac 12$．

情形一　$a>\dfrac 12$．此时 $$g''(x)={\rm e}^x-2a,$$ 于是在区间$(0,\ln 2a)$上，$g''(x)<0$，$g'(x)$单调递减，结合$g'(0)<0$可得$g'(x)<0$，于是$g(x)$单调递减，结合$g(0)=0$，可得$g(x)<0$，不符合题意．

情形二　$a\leqslant \dfrac 12$．此时 $$g(x)\geqslant {\rm e}^x-\dfrac 12x^2-x-1,$$ 容易证明 $${\rm e}^{-x}\left(\dfrac 12x^2+x+1\right)\leqslant 1,$$ 符合题意．

综合以上情形可得$a$的取值范围是$\left(-\infty,\dfrac 12\right]$．