每日一题[846]兵来将挡

已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),A为椭圆E的右顶点,M,N是椭圆E上不同于A的不同两点,且直线AMAN的斜率之积为λ

(1) 求证:直线MN过定点R

(2) 若λ=b2a2P为椭圆E上不同于M,N的一点,且|PM|=|PN|,求MNP的面积的最小值.


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分析与解 (1) 平移坐标系xOy至以A为坐标原点,则E:(x+a)2a2+y2b2=1,即E:x2a2+y2b2+2ax=0,

设直线MN:mx+ny=1,与椭圆E的方程化齐次联立,得x2a2+y2b2+2ax(mx+ny)=0,
1b2y2+2naxy+(1a2+2ma)x2=0,
于是由直线AM与直线AN斜率之积为λ,可得1a2+2ma1b2=λ,
因此1m=2ab2λa2b2,
为定值.进而直线MN过定点R(2ab2λa2b2,0),回到原坐标,定点为R(λa2+b2λa2b2a,0)

(2) 当λ=b2a2时,R即坐标原点O.此时O点平分线段MN,因此OPMN.不妨设M(r1cosθ,r1sinθ)P(r2cos(θ+π2),r2sin(θ+π2)).此时有(r1cosθ)2a2+(r1sinθ)2b2=1,(r2cos(θ+π2))2a2+(r2sin(θ+π2))2b2=1,

因此1r21+1r22=1a2+1b2
PMN的面积为12|MN||OP|=r1r2=r1r2(1r21+1r22)1a2+1b2=r2r1+r1r21a2+1b22a2b2a2+b2,
等号当r1=r2时(取θ=π4)取得.因此所求的最小值为2a2b2a2+b2

 注意到根据椭圆的「垂径定理」,椭圆E上的任意一点与关于原点对称的两点的连线的斜率之积(当斜率均存在时)为b2a2,因此若λ=b2a2,则直线MN恒过原点O

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