已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),A为椭圆E的右顶点,M,N是椭圆E上不同于A的不同两点,且直线AM和AN的斜率之积为λ.
(1) 求证:直线MN过定点R;
(2) 若λ=−b2a2,P为椭圆E上不同于M,N的一点,且|PM|=|PN|,求△MNP的面积的最小值.
分析与解 (1) 平移坐标系xOy至以A为坐标原点,则E′:(x′+a)2a2+y′2b2=1,即E′:x′2a2+y′2b2+2ax′=0,设直线M′N′:mx′+ny′=1,与椭圆E′的方程化齐次联立,得x′2a2+y′2b2+2ax′(mx′+ny′)=0,即1b2y′2+2nax′y′+(1a2+2ma)x′2=0,于是由直线A′M′与直线A′N′斜率之积为λ,可得1a2+2ma1b2=λ,因此1m=2ab2λa2−b2,为定值.进而直线MN过定点R′(2ab2λa2−b2,0),回到原坐标,定点为R(λa2+b2λa2−b2⋅a,0).
(2) 当λ=−b2a2时,R即坐标原点O.此时O点平分线段MN,因此OP⊥MN.不妨设M(r1cosθ,r1sinθ),P(r2cos(θ+π2),r2sin(θ+π2)).此时有(r1cosθ)2a2+(r1sinθ)2b2=1,(r2cos(θ+π2))2a2+(r2sin(θ+π2))2b2=1,因此1r21+1r22=1a2+1b2而△PMN的面积为12|MN|⋅|OP|=r1r2=r1r2⋅(1r21+1r22)1a2+1b2=r2r1+r1r21a2+1b2⩾2a2b2a2+b2,等号当r1=r2时(取θ=−π4)取得.因此所求的最小值为2a2b2a2+b2.
注 注意到根据椭圆的「垂径定理」,椭圆E上的任意一点与关于原点对称的两点的连线的斜率之积(当斜率均存在时)为−b2a2,因此若λ=−b2a2,则直线MN恒过原点O.