每日一题[840]环环相扣

已知$A$是椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的右顶点，过$A$作互相垂直的两条直线$AP$和$AQ$分别交椭圆于$P,Q$．
(1) 求证：直线$PQ$过定点$R$，并求出定点$R$的坐标；
(2) 求$\triangle APQ$面积的最大值．

分析与解　如图．

(1)将坐标系平移至以$A$为新坐标原点，则$E':\dfrac{x'^2}{a^2}+\dfrac{y'^2}{b^2}+\dfrac{2}{a}x'=0$，设新坐标系下直线$P'Q'$的方程为$mx'+ny'=1$，化齐次联立可得 $$\dfrac{x'^2}{a^2}+\dfrac{y'^2}{b^2}+\dfrac 2ax'(mx'+ny')=0.$$ 由于$AP\perp AQ$，于是 $$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{2m}a=0,$$ 于是$m$为定值，直线$P'Q'$恒过定点$R'\left(\dfrac 1m,0\right)$，即$R'\left(-\dfrac{2ab}{a^2+b^2}\cdot b,0\right)$．在原坐标系下对应的$R$点坐标为 $$\left(\dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\cdot a,0\right).$$

(2) 考虑到$R$点为定点，于是 $$\dfrac{S_{\triangle APQ}}{S_{\triangle OPQ}}=\dfrac{AR}{OR}=\dfrac{2b^2}{a^2-b^2}.$$ 接下来计算$\triangle OPQ$面积的最大值．在仿射变换$x'=x$，$y'=\dfrac aby$下，椭圆$E$变为圆$E':x'^2+y'^2=a^2$．设$O$到直线$P'Q'$的距离为$d$，则$d$的取值范围为$(0,OR]$即$\left(0,\dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\cdot a\right]$，此时$\triangle OP'Q'$的面积 $$S=\dfrac 12\cdot d\cdot 2\sqrt{a^2-d^2}=\sqrt{d^2(a^2-d^2)}.$$
情形一　$\dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\geqslant \dfrac{1}{\sqrt 2}$，即$\dfrac ab\geqslant \sqrt 2+1$时，$S$的最大值当$d^2=\dfrac {a^2}2$时取得，为$\dfrac{a^2}2$．此时$\triangle OPQ$的面积的最大值为$\dfrac ba\cdot \dfrac{a^2}2=\dfrac 12ab$，进而对应$\triangle APQ$面积的最大值为 $$\dfrac 12ab\cdot \dfrac{2b^2}{a^2-b^2}= \dfrac{ab^3}{a^2-b^2}.$$
情形二　$\dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}< \dfrac{1}{\sqrt 2}$，即$\dfrac ab<\sqrt 2+1$时，$S$的最大值当$d=\dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\cdot a$时取得，为 $$\dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\cdot a\cdot \sqrt{a^2-\left(\dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\right)^2\cdot a^2}=\dfrac{2a^3b(a^2-b^2)}{(a^2+b^2)^2}.$$ 此时$\triangle OPQ$的面积的最大值为 $$\dfrac ba\cdot \dfrac{2a^3b(a^2-b^2)}{(a^2+b^2)^2}=\dfrac{2a^2b^2(a^2-b^2)}{(a^2+b^2)^2},$$ 进而对应$\triangle APQ$面积的最大值为 $$\dfrac{2a^2b^2(a^2-b^2)}{(a^2+b^2)^2}\cdot \dfrac{2b^2}{a^2-b^2}=\dfrac{4a^2b^4}{(a^2+b^2)^2}.$$

综上所述，$\triangle APQ$面积的最大值为 $$\begin{cases}\dfrac{ab^3}{a^2-b^2},&\dfrac ab\geqslant \sqrt 2+1,\\ \dfrac{4a^2b^4}{(a^2+b^2)^2},&\dfrac ab<\sqrt 2+1. \end{cases}$$