每日一题[831]指与对的放缩

已知$a\left(x^2-1\right)-\dfrac 1x-\ln x+{\rm e}^{1-x}>0$对任意$x>1$恒成立，求$a$的取值范围．

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正确答案是$\left[\dfrac 12,+\infty\right)$．

分析与解　设不等式左侧函数为$\varphi(x)$，则其导函数

$$\varphi'(x)=2ax+\dfrac 1{x^2}-\dfrac 1x-{\rm e}^{1-x},$$ 考虑到当$x\to+\infty$时$\varphi(x)$的变化，以及$\varphi'(1)=2a-1$，讨论的分界点为$0$和$\dfrac 12$．

情形一　$a\leqslant 0$．当$x>1$时，有

$$\varphi(x)\leqslant -\dfrac 1x-\ln x+{\rm e}^{1-x}<-\ln x+1,$$ 取$x={\rm e}$即得$\varphi(x)<0$，不符合题意．

情形二　$0<a<\dfrac 12$．我们熟知$\forall x>1,\ln x<x-1$，于是$\forall x>1,{\rm e}^{1-x}<\dfrac 1x$．设函数

$$\mu (x)=a\left(x^2-1\right)-\ln x,$$ 则其导函数 $$\mu'(x)=\dfrac{2ax^2-1}x,$$ 于是在$x\in \left(1,\sqrt{\dfrac{1}{2a}}\right)$上，$\mu(x)$单调递减，结合$\mu(1)=0$，可得在$x\in \left(1,\sqrt{\dfrac{1}{2a}}\right)$上，有$\mu(x)<0$，进而有 $$\varphi(x)<\mu(x)<0,$$ 不符合题意．

情形三　$a\geqslant \dfrac 12$．取$y={\rm e}^{1-x}$在$x=1$处的切线$y=2-x$，易证

$$\forall x>1,{\rm e}^{1-x}>2-x,$$ 于是此时 $$\varphi(x)\geqslant \dfrac 12\left(x^2-1\right)-\dfrac 1x-\ln x+2-x,$$ 记右侧函数为$\nu (x)$，则其导函数 $$\nu'(x)=\dfrac{(x-1)^2(x+1)}{x^2}>0,$$ 于是$\nu(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增，结合$\nu(1)=0$可得当$x>1$时，$\nu(x)>0$，进而当$x>1$时，有 $$\varphi(x)\geqslant \nu(x)>0,$$ 符合题意．

综上所述，实数$a$的取值范围是$\left[\dfrac 12,+\infty\right)$．