每日一题[829]仿射变换证定点

已知椭圆$E:\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$，过点$P(2,1)$作直线与椭圆相交于$M,N$，过点$N$作斜率为$-\dfrac 32$的直线与椭圆交于另一点$Q$，求证：直线$MQ$过定点．

分析与解　将椭圆$E$通过仿射变换$x'=x$，$y'=\dfrac{2}{\sqrt 3}y$变成圆$E':x'^2+y'^2=4$，则$P'\left(2,\dfrac{2}{\sqrt 3}\right)$．此时$N'Q'$的斜率为$-\dfrac 32\cdot \dfrac{2}{\sqrt 3}=-\sqrt 3$，因此$Q'$是$N'$关于直线$OP'$的对称点．设直线$OP'$与圆$E'$交于$A',B'$，则直线$M'Q'$与直线$OP'$的交点$R'$满足$R',P'$调和分割$A',B'$．

由于 $$|OP'|=\sqrt{2^2+\left(\dfrac{2}{\sqrt 3}\right)^2}=\dfrac{4}{\sqrt 3},$$ 于是$|OR'|=\sqrt 3$，结合直线$OP'$的倾斜角为$30^\circ$，可得$R'\left(\dfrac 32,\dfrac {\sqrt 3}2\right)$，因此直线$MQ$所过的定点坐标为$\left(\dfrac 32,\dfrac 34\right)$．

注　不利用调和分割性质，直接计算$|OR'|$过程如下：

作辅助线如下，则有 $$\angle Q'M'O=\dfrac {\pi}2-\angle Q'C'M'=\dfrac {\pi}2-\angle Q'N'P'=\angle A'P'M',$$ 所以 $$\triangle OR'M'\backsim\triangle OM'P',$$ 从而有 $$\dfrac {|OR'|}{|OM'|}=\dfrac {|OM'|}{|OP'|},\Rightarrow |OR'|\cdot |OP'|=|OM'|^2.$$