已知椭圆E:x24+y23=1,过点P(2,1)作直线与椭圆相交于M,N,过点N作斜率为−32的直线与椭圆交于另一点Q,求证:直线MQ过定点.
分析与解 将椭圆E通过仿射变换x′=x,y′=2√3y变成圆E′:x′2+y′2=4,则P′(2,2√3).此时N′Q′的斜率为−32⋅2√3=−√3,因此Q′是N′关于直线OP′的对称点.设直线OP′与圆E′交于A′,B′,则直线M′Q′与直线OP′的交点R′满足R′,P′调和分割A′,B′.
由于|OP′|=√22+(2√3)2=4√3,
于是|OR′|=√3,结合直线OP′的倾斜角为30∘,可得R′(32,√32),因此直线MQ所过的定点坐标为(32,34).
注 不利用调和分割性质,直接计算|OR′|过程如下:
作辅助线如下,则有∠Q′M′O=π2−∠Q′C′M′=π2−∠Q′N′P′=∠A′P′M′,
所以△OR′M′∽△OM′P′,
从而有|OR′||OM′|=|OM′||OP′|,⇒|OR′|⋅|OP′|=|OM′|2.
