每日一题[829]仿射变换证定点

已知椭圆E:x24+y23=1,过点P(2,1)作直线与椭圆相交于M,N,过点N作斜率为32的直线与椭圆交于另一点Q,求证:直线MQ过定点.


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分析与解 将椭圆E通过仿射变换x=xy=23y变成圆E:x2+y2=4,则P(2,23).此时NQ的斜率为3223=3,因此QN关于直线OP的对称点.设直线OP与圆E交于A,B,则直线MQ与直线OP的交点R满足R,P调和分割A,B

由于|OP|=22+(23)2=43,

于是|OR|=3,结合直线OP的倾斜角为30,可得R(32,32),因此直线MQ所过的定点坐标为(32,34)

 不利用调和分割性质,直接计算|OR|过程如下:

作辅助线如下,则有QMO=π2QCM=π2QNP=APM,

所以ORMOMP,
从而有|OR||OM|=|OM||OP|,|OR||OP|=|OM|2.

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