每日一题[828]该分离时就分离

已知(xa)2lnx4e2对任意x(0,3e]恒成立,求a的取值范围.


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分析与解 题意即x(1,3e],|xa|2elnx,也即x(1,3e],2elnx+xa2elnx+x.设左侧函数为f(x),右侧函数为g(x).一方面,f(x)单调递增,在(1,3e]上的最大值为f(3e)=3e2e1+ln3.另一方面,g(x)的导函数g(x)=12e2xlnxlnx,于是g(x)x=e处取得最小值g(e)=3e

因此a的取值范围是[3e2e1+ln3,3e]

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