已知(x−a)2⋅lnx⩽4e2对任意x∈(0,3e]恒成立,求a的取值范围.
分析与解 题意即∀x∈(1,3e],|x−a|⩽2e√lnx,也即∀x∈(1,3e],−2e√lnx+x⩽a⩽2e√lnx+x.设左侧函数为f(x),右侧函数为g(x).一方面,f(x)单调递增,在(1,3e]上的最大值为f(3e)=3e−2e√1+ln3.另一方面,g(x)的导函数g′(x)=1−2e2xlnx⋅√lnx,于是g(x)在x=e处取得最小值g(e)=3e.
因此a的取值范围是[3e−2e√1+ln3,3e].