已知A,B,C是半径为1的圆O上的三点,AB为圆O的直径,P为圆O内(含圆周)一点,求→PA⋅→PB+→PB⋅→PC+→PC⋅→PA的取值范围.
分析与解 根据题意,有→PA⋅→PB+→PB⋅→PC+→PC⋅→PA=∑cyc(→OA−→OP)⋅(→OB−→OP)=→OA⋅→OB+→OB⋅→OC+→OC⋅→OA−2(→OA+→OB+→OC)⋅→OP+3OP2=−1−2→OC⋅→OP+3OP2
先固定P点位置,则有−1−2OP+3OP2⩽−1−2→OC⋅→OP+3OP2⩽−1+2OP+3OP2,
考虑到OP的取值范围是[0,1],于是原式的取值范围是[−43,4].