每日一题[811]周期函数

已知圆周率$\pi$是无理数，函数$f(x)=\sin x+\sin (\pi x)$，求证：$f(x)$不是周期函数．

分析与证明　法一（导数）

假设$f(x)$是周期为$T$的周期函数，那么$f(x)$的导函数 $$f'(x)=\cos x+\pi \cos(\pi x)$$ 也是周期为$T$的周期函数．此时有 $$\cos 0+\pi\cos(\pi \cdot 0)=\cos T+\pi \cos(\pi\cdot T),$$ 考虑最大值，只能有 $$\cos T=1,\cos(\pi\cdot T)=1,$$ 进而 $$T=2k_1\pi,\pi\cdot T=2k_2\pi,$$ 其中$k_1,k_2$均为非零整数．此时有$\pi=\dfrac{k_2}{k_1}$为有理数，矛盾．因此$f(x)$不是周期函数．

法二（零点）

假设$f(x)$是周期为$T$的周期函数．我们研究函数$f(x)$的零点，令$f(x)=0$，则可得 $$x=-\pi\cdot x+2k\pi,{\text{或} \ }x=\pi+\pi\cdot x+2k\pi,$$ 也即 $$x=\dfrac{2k\pi}{1+\pi},{\text{或} \ }x=\dfrac{(2k+1)\pi}{1-\pi},$$ 其中$k\in\mathbb Z$．由于$f(T)=f(0)=0$，于是$T=\dfrac{2n\pi}{1+\pi}$或$T=\dfrac{(2n+1)\pi}{1-\pi}$，其中$n$是整数．

记$x_1=\dfrac{2\pi}{1+\pi}$，$x_2=\dfrac{\pi}{1-\pi}$．若$T=\dfrac{2n\pi}{1+\pi}$，则考虑 $$x_2+T=\dfrac{\pi}{1-\pi}+\dfrac{2n\pi}{1+\pi},n\ne 0,$$ 必然不在函数$f(x)$的零点构成的集合中；类似的，若$T=\dfrac{(2n+1)\pi}{1-\pi}$，则考虑 $$x_1+T=\dfrac{2\pi}{1+\pi}+\dfrac{(2n+1)\pi}{1-\pi},$$ 必然不在函数$f(x)$的零点构成的集合中．综上所述，原命题得证．

法三（三角）

假设$f(x)$是周期为$T$的周期函数，在$f(m)=f(m+T)$中，分别令$m=0,1,2$，可得 $$\begin{cases}\sin T+\sin (\pi T)=0,\\\sin (T+1)-\sin (\pi T)=\sin 1,\\\sin (T+2)+\sin (\pi T)=\sin 2,\end{cases}$$ 将第一个式子分别与第二个式子相加，与第三个式子相减，可得 $$\begin{cases}\sin (T+1)+\sin T=\sin 1,\\\sin (T+2)-\sin T=\sin 2,\end{cases}$$ 和差化积，可得 $$\begin{cases} 2\sin \left(T+\dfrac 12\right)\cos\dfrac 12=2\sin\dfrac 12\cos \dfrac 12,\\2\cos\left(T+1\right)\sin 1=2\sin 1\cos 1,\end{cases}$$ 于是 $$\begin{cases}T=2k_1\pi,{\text{或}\ }T=\pi-1+2k_1\pi,\\T=2k_2\pi,{\text{或}\ }T=-2+2k_2\pi,\end{cases}$$ 其中$k_1,k_2\in\mathbb Z$．这样就得到了$T=2k\pi$，$k\in\mathbb Z$．代入 $$\sin T+\sin(\pi T)=0,$$ 可得$\sin(2k\pi^2)=0$，于是 $$2k\pi^2=n\pi,$$ 其中$n\in\mathbb Z$．也即$\pi=\dfrac{n}{2k}$，与$\pi$是无理数矛盾，因此$f(x)$不是周期函数．