每日一题[812]规律探究

各项均为正整数的数列$\left\{a_n\right\}$,满足$a_{n+1}=a_n+b_n$,其中$b_n$是$a_n$的末位数字,下列关于数列$\left\{a_n\right\}$的说法正确的是(        )

A.如果$a_1$是$5$的倍数,那么数列$\left\{a_n\right\}$与数列$\left\{2^n\right\}$必有相同的项
B.如果$a_1$不是$5$的倍数,那么数列$\left\{a_n\right\}$与数列$\left\{2^n\right\}$必没有相同的项
C.如果$a_1$不是$5$的倍数,那么数列$\left\{a_n\right\}$与数列$\left\{2^n\right\}$只有有限个相同的项
D.如果$a_1$不是$5$的倍数,那么数列$\left\{a_n\right\}$与数列$\left\{2^n\right\}$有无穷多个相同的项


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正确答案是D.

分析与解 如果$a_1$是$5$的倍数,那么$\{b_n\}$为$0,0,0,\cdots$或$5,0,0,\cdots$,而$2$的方幂不可能以$5$或$0$结尾,因此$\{a_n\}$中的任何一项都不在数列$\{2^n\}$中;如果$a_1$不是$5$的倍数,那么$\{b_n\}$从第二项起必然进入$2,4,8,6,2,4,8,6,\cdots$的循环(进入时的数字和$b_1$有关),必然存在$a_m=4k$,其中$k\in\mathbb N^*$.此时取与$2k$尾数相同的$2$的方幂,设为$2^p$,则有\[2^p=10q+2k,\]其中$p,q\in\mathbb N^*$.这样就有\[a_m=4k=2^{p+1}-20q,\]也就是说$a_m$经过$q$轮$+2+4+8+6$后必然得到$2^{p+1}$.由于符合要求的$p$有无穷多个,因此数列$\left\{a_n\right\}$与数列$\left\{2^n\right\}$有无穷多个相同的项.

 本题解决思路是:循环一次($+2+4+8+6$)后,数列中的数增加$20$,如果每次增加的是$10$,那么只要找个位数相同的$2$的较大的方幂即可.现在考虑将所有的数除以$2$再寻找个位数相同的$2$的方幂,对原来的数先做一个筛选,即选择$4$的倍数,这样除以$2$之后尾数仍然为$2,4,6,8$中的某个,问题解决.

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