每日一题[810]正难则反

已知函数$f(x)=\sin \sqrt x$，求证：$f(x)$不是周期函数．

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分析与证明　假设$f(x)$是周期为$T$的周期函数，则

$$\sin \sqrt T=\sin \sqrt 0=0,$$ 于是 $$\sqrt T=k_1\pi,k_1\in\mathbb Z.$$ 类似的，有 $$\sin\sqrt{2T}=\sin\sqrt 0=0,$$ 于是 $$\sqrt {2T}=k_2\pi,k_2\in\mathbb Z.$$ 这样我们就得到了 $$\sqrt 2=\dfrac{k_2}{k_1},$$ 这与$\sqrt 2$是无理数矛盾．因此$f(x)$不是周期函数．