每日一题[810]正难则反

已知函数$f(x)=\sin \sqrt x$,求证:$f(x)$不是周期函数.


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分析与证明 假设$f(x)$是周期为$T$的周期函数,则\[\sin \sqrt T=\sin \sqrt 0=0,\]于是\[\sqrt T=k_1\pi,k_1\in\mathbb Z.\]类似的,有\[\sin\sqrt{2T}=\sin\sqrt 0=0,\]于是\[\sqrt {2T}=k_2\pi,k_2\in\mathbb Z.\]这样我们就得到了\[\sqrt 2=\dfrac{k_2}{k_1},\]这与$\sqrt 2$是无理数矛盾.因此$f(x)$不是周期函数.

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