每日一题[808]化齐次联立处理垂直

已知$P(x_0,y_0)$是二次曲线（仅考虑：圆、椭圆、双曲线、抛物线）

$$\Gamma:Ax^2+By^2+Dx+Ey+F=0$$ 上一点，且$A+B\ne 0$，过$P$作互相垂直的直线分别交$\Gamma$于另外两个点$A,B$，求证：直线$AB$过定点．

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分析与解　由点$P$在曲线$\Gamma$上，可得

$$Ax_0^2+By_0^2+Dx_0+Ey_0+F=0,$$ 将坐标系$xOy$的原点平移到点$P$位置，得到坐标系$x'P'y'$，则此时曲线$\Gamma'$的方程为 $$A(x+x_0)^2+B(y+y_0)^2+D(x+x_0)+E(y+y_0)+F=0,$$ 也即 $$Ax^2+By^2+(D+2Ax_0)x+(E+2By_0)y=0.$$ 设直线$A'B':mx+ny=1$，与$\Gamma'$化齐次联立，有 $$Ax^2+By^2+\left[(D+2Ax_0)x+(E+2By_0)y\right]\cdot (mx+ny)=0.$$ 由$P'A'\perp P'B'$，可得 $$A+B+(D+2Ax_0)m+(E+2By_0)n=0,$$ 也即 $$\left(-\dfrac{D+2Ax_0}{A+B}\right)\cdot m+\left(-\dfrac{E+2By_0}{A+B}\right)\cdot n=1,$$ 因此直线$A'B'$恒过点$Q'\left(-\dfrac{D+2Ax_0}{A+B},-\dfrac{E+2By_0}{A+B}\right)$，换算到原坐标系$xOy$，可得所求定点为 $$Q\left(-\dfrac{(A-B)x_0+D}{A+B},-\dfrac{(B-A)y_0+E}{A+B}\right).$$

注　当$A+B=0$时，有

$$(D+2Ax_0)m+(E+2By_0)n=0,$$ 所以直线$A'B':mx+ny=1$是一组平行直线，从而直线$AB$是一组平行直线．此时，也可以认为直线$AB$都相交于无穷远点．