每日一题[804]变幻的二次函数

设函数$f(x)=ax^2+bx+c$($a>b>c$)的图象经过点$A(m_1,f(m_1))$，$B(m_2,f(m_2))$，$f(1)=0$．若$a^2+(f(m_1)+f(m_2))a+f(m_1)\cdot f(m_2)=0$，则(　　)
A．$b\geqslant 0$
B．$b<0$
C．$3a+c\leqslant 0$
D．$3a-c<0$

正确答案是A．

分析与解　由$f(1)=0$，可得$c=-a-b$，因此 $$f(x)=ax^2+bx-a-b,$$ 又 $$(a+f(m_1))(a+f(m_2))=0,$$ 于是$f(m_1)=-a$或$f(m_2)=-a$，因此关于$x$的方程 $$ax^2+bx-a-b=-a$$ 有实数解，也即 $$\Delta=b^2+4ab=b(b+4a)\geqslant 0.$$ 又$a>b>c$，于是 $$a>b>-a-b,$$ 从而可得 $$b+4a=b+2a+2a>0,$$ 因此$b\geqslant 0$．

选项C等价于$2a-b\leqslant 0$，选项D等价于$4a+b<0$，均错误．