每日一题[801]构造函数证明不等式

(1) 求函数$f(x)=x\ln x-(1-x)\ln (1-x)$在$0<x\leqslant \dfrac 12$上的最大值；

(2) 已知$0<x<1$，求证：$x^{1-x}+(1-x)^x\leqslant \sqrt 2$．

分析与解　(1) 根据题意，有 $$f'(x)=2+\ln (x-x^2),$$ 于是函数$f(x)$在$\left(0,\dfrac 12\right)$先单调递减，再单调递增．考虑到 $$\lim_{x\to 0^+}f(x)=f\left(\dfrac 12\right)=0,$$ 于是$f(x)$的最大值为$0$，当$x=\dfrac 12$时取得．

(2) 记不等式左边为$g(x)$，则显然$g(x)$关于$x=\dfrac 12$对称，且$g\left(\dfrac 12\right)=\sqrt 2$，因此只需要证明函数$g(x)$在$\left(0,\dfrac 12\right]$上的最大值为$g\left(\dfrac 12\right)$即可．令$h(x)=x^{1-x}$，则 $$h'(x)=\left({\rm e}^{(1-x)\ln x}\right)'=x^{1-x}\cdot \left[-\ln x+(1-x)\cdot \dfrac 1x\right]=\dfrac{1-x-x\ln x}{x^x}.$$ 这样就有 $$\begin{split}g'(x)&=\left(h(x)+h(1-x)\right)'\\&=h'(x)-h'(1-x)\\&=\dfrac{1-x-x\ln x}{x^x}-\dfrac{1-(1-x)-(1-x)\ln (1-x)}{(1-x)^{1-x}},\end{split}$$
根据(1)，可得当$0<x\leqslant \dfrac 12$时，有 $$x\ln x-(1-x)\ln (1-x)\leqslant 0,$$ 于是当$0<x\leqslant \dfrac 12$时，有 $$-x\ln x\geqslant -(1-x)\ln (1-x),$$ 进而有 $$1-x-x\ln x\geqslant 1-x-(1-x)\ln(1-x)\geqslant 1-(1-x)-(1-x)\ln(1-x).$$ 而当$0<x<1$时，有 $$1-x-x\ln x>0,$$ 这样就得到了当$0<x\leqslant \dfrac 12$时，有 $$1-x-x\ln x\geqslant 1-(1-x)-(1-x)\ln(1-x)>0.$$ 另一方面，根据(1)，当$0<x\leqslant \dfrac 12$时，有 $${\rm e}^{x\ln x}\leqslant {\rm e}^{(1-x)\ln(1-x)},$$ 即 $$0<x^x\leqslant (1-x)^{(1-x)}.$$ 综上，有当$0<x\leqslant \dfrac 12$时 $$g'(x)=\dfrac{1-x-x\ln x}{x^x}-\dfrac{1-(1-x)-(1-x)\ln (1-x)}{(1-x)^{1-x}}\geqslant 0,$$ 进而可得$g(x)$在$\left(0,\dfrac 12\right]$上的最大值为$g\left(\dfrac 12\right)=\sqrt 2$，原命题得证．

注　事实上，有不等式 $$x^{1-x}+(1-x)^x\leqslant \sqrt x+\sqrt{1-x}\leqslant \sqrt 2$$ 成立．