每日一题[89] 基底思想解向量题

（2015年昆明市第二次统测）三角形\(ABC\)中，\(BC\)边上的中垂线分别交\(BC\)、\(AC\)于\(D\)、\(M\)．若\(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC}=6\)，\(AB=2\)，则\(AC=\)_______．

正确答案是\(4\)．

我们将\(A\)选为基准点，\(\overrightarrow{AB}\)和\(\overrightarrow{AC}\)选为基底，分别记为\(\overrightarrow a\)和\(\overrightarrow b\)，于是\(\overrightarrow{AD}=\dfrac 12\overrightarrow a+\dfrac 12 \overrightarrow b\)．设\(\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow b\)．

根据题意，\(AB=2\)即\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow a =4\)；

\(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BC}=6\)即\[\lambda \overrightarrow b\cdot\left(\overrightarrow b- \overrightarrow a\right)=6,\]整理得\[\lambda \overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\lambda \overrightarrow b\cdot \overrightarrow b-6.\]

而\(MD\perp BC\)，于是\[\left(\dfrac 12\overrightarrow a+\dfrac 12\overrightarrow b-\lambda \overrightarrow b\right)\cdot\left(\overrightarrow b-\overrightarrow a\right)=0,\]整理得\[-\dfrac 12\overrightarrow a\cdot \overrightarrow a+\lambda \overrightarrow a\cdot \overrightarrow b+\left(\dfrac 12-\lambda\right)\overrightarrow b\cdot \overrightarrow b=0,\]将之前向量化的已知条件代入，即得\[\overrightarrow b\cdot \overrightarrow b=16,\]从而\[AC=4.\]