设数列{xn}中，x1∈(−1,1)，xn+1=(−1)n+13xn−13−xn,n∈N∗，若数列{xn}的最大值为x3，求x1的取值范围．
分析与解 注意到x2n+1=5x2n−1−33x2n−1−5,x2n+2=−x2n,为了保证奇数列中x3最大，令yn=x2n−1，则数列{yn}的递推公式为yn+1=5yn−33yn−5,可以用两个思路研究{yn}：
思路一 利用迭代函数法研究数列的单调性变化
考虑函数f(x)=5x−33x−5，图象如下：
因为y1=x1∈(−1,1)，且y2⩾y1，即f(y1)⩾y1，结合图象知，y1⩽13，即x1⩽13．
由函数f(x)的图象关于y=x对称知y1=y3=y5=⋯,y2=y4=y6=⋯,从而只需要x1⩽13，则有x3为数列的奇数项中的最大项；
注 也可以直接计算得到y3=5y2−33y2−5=5(5y1−3)−3(3y1−5)3(5y1−3)−5(3y1−5)=y1.
思路二 直接利用不动点法求出通项公式
解方程5x−33x−5=x，得到两个不动点13,3，于是我们可以计算得到yn+1−3yn+1−13=−yn−3yn−13,于是我们有yn−3yn−13=(−1)n⋅y1−3y1−13,从而 yn−3yn−13在n为奇数时为定值，在n为偶数时也为定值．
结合函数的单调性知y1=y3=y5=⋯,y2=y4=y6=⋯,于是只需要y2⩾y1，即解方程5y1−33y1−5⩾y1,即可，解得y1=x1⩽13．
最后考虑偶数项构成的数列：
为了保证x3不小于偶数列中的任意一项，只需要x3⩾|x2|，也即5x1−33x1−5⩾|3x1−13−x1|.
综上，可得x1的取值范围是(−1,13]．