每日一题[777]二次函数的零点分布

已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，$a,b,c\in\mathbb N^*$，函数$f(x)$在$\left(-\dfrac 14,\dfrac 14\right)$上有两个零点，求$a+b+c$的最小值．

正确答案是$41$．

分析与解　根据题意，考虑到$f(0)=c>0$，于是条件等价于 $$\begin{cases}-\dfrac 14<-\dfrac b{2a}<0,\\ \dfrac a{16}-\dfrac b4+c>0,\\ b^2-4ac>0,\end{cases}$$ 即 $$2b<a,\dfrac{4b-a}{16}<c<\dfrac{b^2}{4a}.$$ 下面证明$a+b+c$的最小值为$41$，当$(a,b,c)=(29,11,1)$时取得．

由于$c$是正整数，于是 $$\dfrac{b^2}{4a}> 1,$$ 从而 $$\dfrac 12a>b> 2\sqrt{a},$$ 这样就得到了$a>16$，进而 $$b> 2\sqrt{a}>8,$$ 于是$b\geqslant 9$，而$a>2b\geqslant 18$，于是$a\geqslant 19$．

当$b\geqslant 13$时，有 $$a+b+c>\dfrac{20b+15a}{16}\geqslant \dfrac{50b+15}{16}>41.$$

当$9\leqslant b\leqslant 12$时，有 $$\dfrac{b^2}{4a}\leqslant \dfrac{12^2}{4\cdot 19}<2,$$ 于是$c=1$，且 $$4b-16<a<\dfrac 14b^2.$$
容易验证当$b=9,10$时，无解；当$b=11$时，$(a,b,c)=(29,11,1)$；
当$b=12$时，$a+b+c$的最小值当$(a,b,c)=(33,12,1)$时取得．

综上所述，$a+b+c$的最小值为$41$，当$(a,b,c)=(29,11,1)$时取得．